Nos problemas 17-26, resolva o problema de valor inicial.
23. t^{-1} \frac{d y}{d t}=2 \cos ^{2} y, \quad y(0)=\pi / 4

Passo 1

O enunciado fornece a equação diferencial com condição inicial:
t^{-1}\frac{dy}{dt}=2\cos^{2}y,\qquad y(0)=\frac{\pi}{4}.
O que se pede: encontrar a função y(t) que satisfaz a equação diferencial e a condição inicial.
Informações relevantes dadas:
  • A equação contém o fator t^{-1}, o que indica que, na forma escrita, a igualdade é problemática em t=0 (pois t^{-1} não está definido em t=0).
  • A condição inicial está exatamente em t=0: y(0)=\pi/4.

Passo 2

Reescrevendo a equação para uma forma mais manejável (multiplicando ambos os lados por t):
\frac{dy}{dt}=2t\cos^{2}y.
Observação técnica: a multiplicação por t exige t\neq0 para manter equivalência formal, mas a nova forma \dfrac{dy}{dt}=2t\cos^{2}y é uma função bem definida e contínua em todo t, inclusive t=0. Vamos resolver essa forma e depois verificar que a solução é consistente com a condição em t=0.

Passo 3

Reconhecer que a equação é separável: os termos com y podem ser colocados de um lado e os termos com t do outro. Para separar, dividimos por \cos^{2}y:
\frac{1}{\cos^{2}y}\,dy = 2t\,dt.
Aqui usamos a identidade \dfrac{1}{\cos^{2}y}=\operatorname{sec}^{2}y. Uma pequena lembrança útil: a derivada de \tan y é \operatorname{sec}^{2}y, ou seja,
\frac{d}{dy}\big(\tan y\big)=\operatorname{sec}^{2}y.
Isso facilita a integração do lado esquerdo.

Passo 4

Integrar ambos os lados em relação às suas variáveis:
\int \operatorname{sec}^{2}y\,dy = \int 2t\,dt.
Pelo comentário anterior, \int \operatorname{sec}^{2}y\,dy=\tan y. E \int 2t\,dt = t^{2}+C, onde C é constante de integração. Assim obtemos:
\tan y = t^{2}+C.

Passo 5

Aplicar a condição inicial y(0)=\dfrac{\pi}{4}. Substituindo t=0 e y=\pi/4 em \tan y = t^{2}+C:
\tan\!\left(\frac{\pi}{4}\right)=1 = 0^{2}+C \quad\Rightarrow\quad C=1.
Portanto a relação fica
\tan y = t^{2}+1.

Passo 6

Isolar y usando a função inversa da tangente:
y(t)=\arctan\big(t^{2}+1\big).
Verificações e comentários:
  • No instante t=0 temos y(0)=\arctan(1)=\pi/4, portanto a condição inicial é satisfeita.
  • Diferenciando y(t) para confirmar que ela satisfaz a equação original: usando \dfrac{d}{dt}\arctan(u)=\dfrac{u'}{1+u^{2}} com u=t^{2}+1 obtemos
\frac{dy}{dt}=\frac{2t}{1+(t^{2}+1)^{2}}.
Como \cos^{2}y=\dfrac{1}{1+\tan^{2}y}=\dfrac{1}{1+(t^{2}+1)^{2}}, segue que
\frac{dy}{dt}=2t\cos^{2}y,
que é exatamente a forma reescrita da equação. Para t\neq0 podemos dividir por t e obter t^{-1}\dfrac{dy}{dt}=2\cos^{2}y, então a solução satisfaz a equação dada para t\neq0. Em t=0 a forma original com t^{-1} é indefinida, mas a solução é contínua e diferenciável em t=0 e respeita a condição inicial; além disso, a forma reescrita \dfrac{dy}{dt}=2t\cos^{2}y é contínua e Lipschitz em y, garantindo existência e unicidade da solução para todo t.

Resposta

y(t)=\arctan\big(t^{2}+1\big)

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