Nos problemas 17-26, resolva o problema de valor inicial.
23.
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Passo 1
O enunciado fornece a equação diferencial com condição inicial:
O que se pede: encontrar a função
que satisfaz a equação diferencial e a condição inicial.
Informações relevantes dadas:
- A equação contém o fator
, o que indica que, na forma escrita, a igualdade é problemática em (pois não está definido em ). - A condição inicial está exatamente em
: .
Passo 2
Reescrevendo a equação para uma forma mais manejável (multiplicando ambos os lados por
):
Observação técnica: a multiplicação por
exige
para manter equivalência formal, mas a nova forma
é uma função bem definida e contínua em todo
, inclusive
. Vamos resolver essa forma e depois verificar que a solução é consistente com a condição em
.
Passo 3
Reconhecer que a equação é separável: os termos com
podem ser colocados de um lado e os termos com
do outro. Para separar, dividimos por
:
Aqui usamos a identidade
. Uma pequena lembrança útil: a derivada de
é
, ou seja,
Isso facilita a integração do lado esquerdo.
Passo 4
Integrar ambos os lados em relação às suas variáveis:
Pelo comentário anterior,
. E
, onde
é constante de integração. Assim obtemos:
Passo 5
Aplicar a condição inicial
. Substituindo
e
em
:
Portanto a relação fica
Passo 6
Isolar
usando a função inversa da tangente:
Verificações e comentários:
- No instante
temos , portanto a condição inicial é satisfeita. - Diferenciando
para confirmar que ela satisfaz a equação original: usando com obtemos
Como
, segue que
que é exatamente a forma reescrita da equação. Para
podemos dividir por
e obter
, então a solução satisfaz a equação dada para
. Em
a forma original com
é indefinida, mas a solução é contínua e diferenciável em
e respeita a condição inicial; além disso, a forma reescrita
é contínua e Lipschitz em
, garantindo existência e unicidade da solução para todo
.