Determine se as séries abaixo convergem ou divergem. Justifique rigorosamente suas respostas.
\sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{n \ln n}

Passo 1

O enunciado pede para determinar se a série
\sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{n\ln n}
converge ou diverge, e justificar rigorosamente. Informações dadas (retiradas diretamente do enunciado):
  • A soma começa em n=2.
  • O termo geral é a_n=\dfrac{1}{n\ln n}.
  • Os termos são bem definidos a partir de n=2 porque \ln n>0 para n\ge2.

Passo 2

Primeiro vamos ver propriedades do termo geral úteis para aplicar testes de convergência que exigem uma função contínua e decrescente. Considere a função
f(x)=\frac{1}{x\ln x},\qquad x\ge2.
Verificações:
  • Positividade: para x\ge2 tem-se \ln x>0 e x>0, logo f(x)>0.
  • Continuidade: f é composição de funções contínuas em [2,\infty) exceto por pontos onde \ln x=0, mas isso não acontece em [2,\infty). Portanto f é contínua em [2,\infty).

Passo 3

Agora mostramos que f é decrescente em [2,\infty). Calcule a derivada de f:
f(x)=\bigl(x\ln x\bigr)^{-1}\quad\Rightarrow\quad f'(x)=-\frac{(x\ln x)'}{(x\ln x)^2}.
Calcule (x\ln x)'=\ln x + 1. Assim
f'(x)=-\frac{\ln x + 1}{x^2(\ln x)^2}.
Para x\ge2 tem-se \ln x>0, então o numerador \ln x+1>0 e o denominador também é positivo; portanto f'(x)<0 para todo x\ge2. Conclusão: f é decrescente em [2,\infty).

Passo 4

Apresento o Teorema do Integral Teste (versão usada aqui) e por que podemos aplicá-lo. Teorema (não formalíssimo, mas suficiente):
  • Se f:[a,\infty)\to(0,\infty) é contínua, positiva e decrescente e a_n=f(n), então a série \sum_{n=a}^\infty a_n converge se, e somente se, a integral imprópria \int_a^\infty f(x)\,dx converge (é finita).
    Nós já verificamos que f satisfaz essas hipóteses em [2,\infty), logo podemos aplicar o teste integral à série.

Passo 5

Calcule a integral imprópria
\int_{2}^{\infty}\frac{1}{x\ln x}\,dx.
Use a substituição \,u=\ln x. Então \,du=\dfrac{1}{x}\,dx, e quando x=2 temos u=\ln 2, quando x=R temos u=\ln R. Portanto, para R>2,
\int_{2}^{R}\frac{1}{x\ln x}\,dx=\int_{\ln 2}^{\ln R}\frac{1}{u}\,du.
A primitiva de 1/u é \ln|u|, logo
\int_{\ln 2}^{\ln R}\frac{1}{u}\,du=\ln(\ln R)-\ln(\ln 2).
Tomando o limite R\to\infty,
\lim_{R\to\infty}\bigl(\ln(\ln R)-\ln(\ln 2)\bigr)=\lim_{R\to\infty}\ln(\ln R)-\ln(\ln 2)=\infty,
porque \ln R\to\infty quando R\to\infty e, portanto, \ln(\ln R)\to\infty. Assim a integral imprópria diverge (é infinita).

Passo 6

Pelo Integral Teste, como a integral \displaystyle\int_{2}^{\infty}\frac{1}{x\ln x}\,dx diverge, a série
\sum_{n=2}^{\infty}\frac{1}{n\ln n}
também diverge.

Passo 7

(Sugestão alternativa curta — método de Cauchy Condensation, só para reforçar a intuição.)
Se aplicarmos o teste de condensação de Cauchy à sequência a_n=\dfrac{1}{n\ln n} obtemos a série condensada
\sum_{k=1}^{\infty}2^k a_{2^k}=\sum_{k=1}^{\infty}2^k\cdot\frac{1}{2^k\ln(2^k)} =\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k\ln 2}=\frac{1}{\ln 2}\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k},
e essa última é a série harmônica multiplicada por constante, que diverge; pelo teste de condensação, a série original diverge. (Isto confirma a conclusão anterior.)

Resposta

Diverge.

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