Determine se as séries abaixo convergem ou divergem. Justifique rigorosamente suas respostas.
Passo 1
O enunciado pede para determinar se a série
converge ou diverge, e justificar rigorosamente. Informações dadas (retiradas diretamente do enunciado):
- A soma começa em
. - O termo geral é
. - Os termos são bem definidos a partir de
porque para .
Passo 2
Primeiro vamos ver propriedades do termo geral úteis para aplicar testes de convergência que exigem uma função contínua e decrescente. Considere a função
Verificações:
- Positividade: para
tem-se e , logo . - Continuidade:
é composição de funções contínuas em exceto por pontos onde , mas isso não acontece em . Portanto é contínua em .
Passo 3
Agora mostramos que
é decrescente em
. Calcule a derivada de
:
Calcule
. Assim
Para
tem-se
, então o numerador
e o denominador também é positivo; portanto
para todo
. Conclusão:
é decrescente em
.
Passo 4
Apresento o Teorema do Integral Teste (versão usada aqui) e por que podemos aplicá-lo. Teorema (não formalíssimo, mas suficiente):
- Se
é contínua, positiva e decrescente e , então a série converge se, e somente se, a integral imprópria converge (é finita).
Nós já verificamos quesatisfaz essas hipóteses em , logo podemos aplicar o teste integral à série.
Passo 5
Calcule a integral imprópria
Use a substituição
. Então
, e quando
temos
, quando
temos
. Portanto, para
,
A primitiva de
é
, logo
Tomando o limite
,
porque
quando
e, portanto,
. Assim a integral imprópria diverge (é infinita).
Passo 6
Pelo Integral Teste, como a integral
diverge, a série
também diverge.
Passo 7
(Sugestão alternativa curta — método de Cauchy Condensation, só para reforçar a intuição.)
Se aplicarmos o teste de condensação de Cauchy à sequência obtemos a série condensada
Se aplicarmos o teste de condensação de Cauchy à sequência
e essa última é a série harmônica multiplicada por constante, que diverge; pelo teste de condensação, a série original diverge. (Isto confirma a conclusão anterior.)
Resposta
Diverge.