Nos problemas 17-26, resolva o problema de valor inicial.
22.
22.
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial
e a condição inicial
.
O que se pede: encontrar a solução que satisfaça a equação diferencial e a condição inicial.
O que se pede: encontrar a solução
Passo 2
Vamos manipular a equação para isolar os diferenciais e integrar. Primeiro note que podemos dividir por
(assumindo
no sentido de escrever a derivada) e escrever a equação em forma mais familiar:
Rearranjando, obtemos uma forma onde os termos em
e em
ficam separados:
Isto é chamado de separação de variáveis: colocar todos os fatores contendo
com
e todos os fatores contendo
com
para integrar cada lado.
Passo 3
Integramos os dois lados. Vou lembrar a regra básica de integração que uso aqui: para um polinômio simples
. Aplicando,
Calcule cada integral:
onde
é a constante de integração. Assim obtemos a solução implícita
Passo 4
Usamos a condição inicial
para determinar
. Substituindo
e
em
:
logo
. A solução implícita fica
Passo 5
Passamos para a forma explícita em
. Tomando raiz quadrada em ambos os lados,
A condição inicial
seleciona o ramo positivo da raiz (porque
), portanto a solução que satisfaz a condição inicial é
Passo 6
Comentário sobre domínio de validade: para
ser real precisamos do radicando não-negativo:
Assim a solução real obtida existe (pelo menos) no intervalo maximal que contém
, ou seja em
. Observação prática: na vizinhança de
a solução é bem definida e suave; o ponto limite
é onde
chega a zero.