Nos problemas 17-26, resolva o problema de valor inicial.
22. x^{2} d x+2 y d y=0, \quad y(0)=2

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
x^{2}\,dx + 2y\,dy = 0
e a condição inicial \,y(0)=2.
O que se pede: encontrar a solução y(x) que satisfaça a equação diferencial e a condição inicial.

Passo 2

Vamos manipular a equação para isolar os diferenciais e integrar. Primeiro note que podemos dividir por dx (assumindo dx\neq0 no sentido de escrever a derivada) e escrever a equação em forma mais familiar:
x^{2} + 2y\frac{dy}{dx} = 0.
Rearranjando, obtemos uma forma onde os termos em y e em x ficam separados:
2y\,dy = -x^{2}\,dx.
Isto é chamado de separação de variáveis: colocar todos os fatores contendo y com dy e todos os fatores contendo x com dx para integrar cada lado.

Passo 3

Integramos os dois lados. Vou lembrar a regra básica de integração que uso aqui: para um polinômio simples \int y^{n}\,dy = \dfrac{y^{n+1}}{n+1}+C. Aplicando,
\int 2y\,dy = \int -x^{2}\,dx.
Calcule cada integral:
\int 2y\,dy = 2\cdot\frac{y^{2}}{2}=y^{2}, \qquad \int -x^{2}\,dx = -\frac{x^{3}}{3}+C,
onde C é a constante de integração. Assim obtemos a solução implícita
y^{2} = -\frac{x^{3}}{3} + C.

Passo 4

Usamos a condição inicial \,y(0)=2 para determinar C. Substituindo x=0 e y=2 em \,y^{2} = -\dfrac{x^{3}}{3}+C:
(2)^{2} = -\frac{0^{3}}{3} + C \quad\Rightarrow\quad 4 = 0 + C,
logo \,C=4. A solução implícita fica
y^{2} = -\frac{x^{3}}{3} + 4.

Passo 5

Passamos para a forma explícita em y. Tomando raiz quadrada em ambos os lados,
y(x) = \pm\sqrt{\,4 - \frac{x^{3}}{3}\, }.
A condição inicial y(0)=2 seleciona o ramo positivo da raiz (porque 2>0), portanto a solução que satisfaz a condição inicial é
y(x) = \sqrt{\,4 - \frac{x^{3}}{3}\, }.

Passo 6

Comentário sobre domínio de validade: para y(x) ser real precisamos do radicando não-negativo:
4 - \frac{x^{3}}{3} \ge 0 \quad\Longleftrightarrow\quad x^{3} \le 12 \quad\Longleftrightarrow\quad x \le \sqrt[3]{12}.
Assim a solução real obtida existe (pelo menos) no intervalo maximal que contém 0, ou seja em (-\infty,\;\sqrt[3]{12}]. Observação prática: na vizinhança de x=0 a solução é bem definida e suave; o ponto limite \,x=\sqrt[3]{12} é onde y chega a zero.

Resposta

y(x)=\sqrt{\,4-\dfrac{x^{3}}{3}\,},\quad x\le\sqrt[3]{12}

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