Determine se as séries abaixo convergem ou divergem. Justifique rigorosamente suas respostas.
Passo 1
O enunciado pede que se determine se a série
converge ou diverge, e que a resposta seja justificada rigorosamente. A informação que temos é apenas a expressão do termo geral
Não há outros dados (como valores numéricos adicionais ou figura).
Passo 2
Escolha do método: observe que o denominador do termo geral fatoriza claramente como produto de fatores lineares em
, isto é
. Quando aparece um produto de fatores consecutivos no denominador, uma técnica natural e eficiente é a decomposição em frações parciais que pode levar a uma série telescópica (onde muitos termos somam-se e cancelam-se). Vou seguir esse caminho porque ele fornece uma soma explícita das somas parciais e permite decidir a convergência de modo direto e rigoroso.
Passo 3
Decomposição em frações parciais. Procuro constantes
e
tais que, para todo
,
Multiplicando ambos os lados por
obtenho a identidade
Esta igualdade deve valer para todo
. Posso determinar
e
escolhendo valores convenientes de
. Tomando
(formalmente na identidade algébrica) vem
Tomando
obtemos
Portanto a decomposição é
Passo 4
Formação das somas parciais e telescopagem. Defina a soma parcial de ordem
por
Usando a decomposição do passo anterior:
Escrevendo os primeiros termos para ver o padrão:
Agora observa-se o cancelamento telescópico:
cancela com
,
cancela com
, e assim por diante. Após os cancelamentos resta apenas
Passo 5
Limite das somas parciais e conclusão sobre convergência. Como
temos
Portanto a sequência de somas parciais converge para
, ou seja, a série converge e sua soma é
.
Comentário adicional (intuitivo e útil na prova): todos os termos
são positivos, logo as somas parciais
formam uma sequência monótona crescente. Como obtivemos uma expressão fechada
, vemos também que
para todo
, ou seja, as somas parciais são monotonicamente crescentes e majoradas por
; pelo Teorema da Monotonia isso já garante convergência, consistente com o resultado da telescopagem.
Resposta
A série converge e sua soma é
.