Determine se as séries abaixo convergem ou divergem. Justifique rigorosamente suas respostas.
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{(n+1)(n+2)}

Passo 1

O enunciado pede que se determine se a série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{(n+1)(n+2)}
converge ou diverge, e que a resposta seja justificada rigorosamente. A informação que temos é apenas a expressão do termo geral
a_n=\frac{1}{(n+1)(n+2)},\quad n=1,2,3,\dots
Não há outros dados (como valores numéricos adicionais ou figura).

Passo 2

Escolha do método: observe que o denominador do termo geral fatoriza claramente como produto de fatores lineares em n, isto é (n+1)(n+2). Quando aparece um produto de fatores consecutivos no denominador, uma técnica natural e eficiente é a decomposição em frações parciais que pode levar a uma série telescópica (onde muitos termos somam-se e cancelam-se). Vou seguir esse caminho porque ele fornece uma soma explícita das somas parciais e permite decidir a convergência de modo direto e rigoroso.

Passo 3

Decomposição em frações parciais. Procuro constantes A e B tais que, para todo n,
\frac{1}{(n+1)(n+2)}=\frac{A}{n+1}+\frac{B}{n+2}.
Multiplicando ambos os lados por (n+1)(n+2) obtenho a identidade
1 = A(n+2)+B(n+1).
Esta igualdade deve valer para todo n. Posso determinar A e B escolhendo valores convenientes de n. Tomando n=-1 (formalmente na identidade algébrica) vem
1 = A(1)+B(0)\quad\Rightarrow\quad A=1.
Tomando n=-2 obtemos
1 = A(0)+B(-1)\quad\Rightarrow\quad B=-1.
Portanto a decomposição é
\frac{1}{(n+1)(n+2)}=\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2}.

Passo 4

Formação das somas parciais e telescopagem. Defina a soma parcial de ordem N por
S_N=\sum_{n=1}^{N}\frac{1}{(n+1)(n+2)}.
Usando a decomposição do passo anterior:
S_N=\sum_{n=1}^{N}\left(\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2}\right).
Escrevendo os primeiros termos para ver o padrão:
\begin{aligned} S_N &= \left(\frac{1}{2}-\frac{1}{3}\right) + \left(\frac{1}{3}-\frac{1}{4}\right) + \left(\frac{1}{4}-\frac{1}{5}\right) + \cdots + \left(\frac{1}{N+1}-\frac{1}{N+2}\right). \end{aligned}
Agora observa-se o cancelamento telescópico: -\frac{1}{3} cancela com +\frac{1}{3}, -\frac{1}{4} cancela com +\frac{1}{4}, e assim por diante. Após os cancelamentos resta apenas
S_N=\frac{1}{2}-\frac{1}{N+2}.

Passo 5

Limite das somas parciais e conclusão sobre convergência. Como
\lim_{N\to\infty}\frac{1}{N+2}=0,
temos
\lim_{N\to\infty}S_N=\lim_{N\to\infty}\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{N+2}\right)=\frac{1}{2}.
Portanto a sequência de somas parciais converge para \tfrac{1}{2}, ou seja, a série converge e sua soma é \tfrac{1}{2}.
Comentário adicional (intuitivo e útil na prova): todos os termos a_n são positivos, logo as somas parciais S_N formam uma sequência monótona crescente. Como obtivemos uma expressão fechada S_N=\tfrac{1}{2}-\tfrac{1}{N+2}, vemos também que S_N<\tfrac{1}{2} para todo N, ou seja, as somas parciais são monotonicamente crescentes e majoradas por \tfrac{1}{2}; pelo Teorema da Monotonia isso já garante convergência, consistente com o resultado da telescopagem.

Resposta

A série converge e sua soma é \dfrac{1}{2}.

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