Determine se as séries abaixo convergem ou divergem. Justifique rigorosamente suas respostas.
\sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{n(\ln n)^{2}}

Passo 1

O enunciado pede para decidir se a série
\sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{n(\ln n)^{2}}
converge ou diverge, e exigir uma justificativa rigorosa. Informações dadas:
  • A soma começa em n=2.
  • O termo geral é a_n=\dfrac{1}{n(\ln n)^{2}}.
  • Os termos são positivos para todo n\ge 2 (porque \ln n>0 para n\ge2).

Passo 2

Escolha do método: para séries com termos parecidos de \dfrac{1}{n(\ln n)^{p}} a ferramenta mais direta e didática é o Teste da Integral (ou, alternativamente, o Teste de Condensação de Cauchy). Vou aplicar o Teste da Integral porque permite um cálculo explícito e fácil de acompanhar. Antes de aplicar o teste, preciso definir a função contínua associada e verificar as hipóteses do teste.

Passo 3

Definir a função associada e verificar hipóteses. Seja a função
f(x)=\frac{1}{x(\ln x)^{2}},\qquad x\ge 2.
Verificações:
  • Positividade: para x\ge 2 tem-se \ln x>0, logo f(x)>0.
  • Continuidade: f é composta de funções contínuas em [2,\infty) e não tem singularidade aqui, logo é contínua em [2,\infty).
  • Monotonicidade (decrescente): vamos calcular f'(x) e mostrar que é negativa para x\ge2.
Calculemos a derivada. Usando derivação de produto/potências,
f(x)=(\ln x)^{-2}x^{-1},
então
f'(x)=-\frac{(\ln x)^{-2}}{x^{2}}-2\frac{(\ln x)^{-3}}{x^{2}}.
Colocando em fator comum:
f'(x)=-\frac{(\ln x)^{-3}}{x^{2}}\bigl(\ln x + 2\bigr).
Para x\ge 2 temos \ln x>0 e \ln x+2>0, além de x^{2}>0, portanto f'(x)<0 para todo x\ge2. Assim f é decrescente em [2,\infty).
Como f é positiva, contínua e decrescente em [2,\infty), as hipóteses do Teste da Integral estão satisfeitas.

Passo 4

Aplicando o Teste da Integral: a série \sum_{n=2}^{\infty}a_n converge se, e somente se, a integral imprópria
\int_{2}^{\infty} f(x)\,dx=\int_{2}^{\infty}\frac{1}{x(\ln x)^{2}}\,dx
converge.
Calculemos a integral. Façamos a substituição \;u=\ln x\;, então \;du=\dfrac{dx}{x}\;. Quando x=2 tem-se u=\ln 2; quando x\to\infty, u\to\infty. Assim
\int_{2}^{\infty}\frac{1}{x(\ln x)^{2}}\,dx=\int_{\ln 2}^{\infty}\frac{1}{u^{2}}\,du.
A integral da potência é direta:
\int_{\ln 2}^{\infty}\frac{1}{u^{2}}\,du=\left[-\frac{1}{u}\right]_{u=\ln 2}^{u=\infty}=\;0- \left(-\frac{1}{\ln 2}\right)=\frac{1}{\ln 2},
que é um número finito. Portanto a integral impropria converge.
Pelo Teste da Integral, a série
\sum_{n=2}^{\infty}\frac{1}{n(\ln n)^{2}}
converge.

Passo 5

Observação adicional (método alternativo curto e útil para memorizar): pelo Teste de Condensação de Cauchy, para uma sequência positiva e decrescente a_n, a série \sum a_n converge se, e somente se, a série condensada \sum 2^{k}a_{2^{k}} converge. Aqui
2^{k}a_{2^{k}}=2^{k}\cdot\frac{1}{2^{k}(\ln 2^{k})^{2}}=\frac{1}{(\ln 2^{k})^{2}}=\frac{1}{k^{2}(\ln 2)^{2}}.
Logo \sum_{k=1}^{\infty}2^{k}a_{2^{k}}=\dfrac{1}{(\ln 2)^{2}}\sum_{k=1}^{\infty}\dfrac{1}{k^{2}}, e como \sum 1/k^{2} converge (série p com p=2>1), a série condensada converge, portanto a série original também converge. Isto confirma a conclusão anterior e dá uma maneira rápida de lembrar o resultado: o fator (\ln n)^{2} é suficiente para tornar a série convergente.

Resposta

Converge (convergência absoluta).

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