Determine se as séries abaixo convergem ou divergem. Justifique rigorosamente suas respostas.
Passo 1
O enunciado pede para decidir se a série
converge ou diverge, e exigir uma justificativa rigorosa. Informações dadas:
- A soma começa em
. - O termo geral é
. - Os termos são positivos para todo
(porque para ).
Passo 2
Escolha do método: para séries com termos parecidos de
a ferramenta mais direta e didática é o Teste da Integral (ou, alternativamente, o Teste de Condensação de Cauchy). Vou aplicar o Teste da Integral porque permite um cálculo explícito e fácil de acompanhar. Antes de aplicar o teste, preciso definir a função contínua associada e verificar as hipóteses do teste.
Passo 3
Definir a função associada e verificar hipóteses. Seja a função
Verificações:
- Positividade: para
tem-se , logo . - Continuidade:
é composta de funções contínuas em e não tem singularidade aqui, logo é contínua em . - Monotonicidade (decrescente): vamos calcular
e mostrar que é negativa para .
Calculemos a derivada. Usando derivação de produto/potências,
então
Colocando em fator comum:
Para
temos
e
, além de
, portanto
para todo
. Assim
é decrescente em
.
Como
é positiva, contínua e decrescente em
, as hipóteses do Teste da Integral estão satisfeitas.
Passo 4
Aplicando o Teste da Integral: a série
converge se, e somente se, a integral imprópria
converge.
Calculemos a integral. Façamos a substituição
, então
. Quando
tem-se
; quando
,
. Assim
A integral da potência é direta:
que é um número finito. Portanto a integral impropria converge.
Pelo Teste da Integral, a série
converge.
Passo 5
Observação adicional (método alternativo curto e útil para memorizar): pelo Teste de Condensação de Cauchy, para uma sequência positiva e decrescente
, a série
converge se, e somente se, a série condensada
converge. Aqui
Logo
, e como
converge (série p com
), a série condensada converge, portanto a série original também converge. Isto confirma a conclusão anterior e dá uma maneira rápida de lembrar o resultado: o fator
é suficiente para tornar a série convergente.
Resposta
Converge (convergência absoluta).