41-\int \frac{1}{x^{2}-1} d x

Passo 1

Resumindo o enunciado: queremos calcular
41 \;-\;\int \frac{1}{x^{2}-1}\,dx
O conteúdo aqui é antiderivação de \frac{1}{x^{2}-1} usando frações parciais.

Passo 2

Fazemos a decomposição em frações parciais:
\frac{1}{x^{2}-1} =\frac{1}{(x-1)(x+1)} =\frac{A}{x-1}+\frac{B}{x+1}.
Resolvendo, obtém-se
A=\tfrac12,\quad B=-\tfrac12,
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\frac{1}{x^{2}-1} =\frac{1}{2}\Bigl(\frac{1}{x-1}-\frac{1}{x+1}\Bigr).

Passo 3

Integramos termo a termo:
\int \frac{1}{x^{2}-1}\,dx =\frac{1}{2}\int \frac{1}{x-1}\,dx -\frac{1}{2}\int \frac{1}{x+1}\,dx =\frac{1}{2}\ln\lvert x-1\rvert -\frac{1}{2}\ln\lvert x+1\rvert +C
e, combinando os logaritmos,
\int \frac{1}{x^{2}-1}\,dx =\frac{1}{2}\ln\!\Bigl\lvert\frac{x-1}{x+1}\Bigr\rvert +C.

Passo 4

Substituindo de volta em 41-\int\frac{1}{x^{2}-1}dx, temos
41 \;-\;\int \frac{1}{x^{2}-1}\,dx =41 -\frac{1}{2}\ln\!\Bigl\lvert\frac{x-1}{x+1}\Bigr\rvert +C.

Resposta

41-\tfrac{1}{2}\ln\!\Bigl\lvert\frac{x-1}{x+1}\Bigr\rvert+C

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