Determine se as séries abaixo convergem ou divergem.
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^{2}}{2 \cdot 4 \cdot 6 \cdot \ldots \cdot(2 n)}\;

Passo 1

O enunciado pede para estudar a convergência da série
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n^{2}}{2\cdot4\cdot6\cdot\ldots\cdot(2n)}.
O conteúdo aqui é séries numéricas e vamos usar o teste da razão. Antes disso, precisamos simplificar o termo geral.

Passo 2

Note que
2\cdot4\cdot6\cdot\ldots\cdot(2n) =2^{n}\,n!,
pois cada fator 2k contribui com um 2 e um k. Logo o termo geral da série é
a_{n} =\frac{n^{2}}{2^{n}\,n!}.

Passo 3

Aplicamos o teste da razão, calculando
L =\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_{n}}\right| =\lim_{n\to\infty}\frac{(n+1)^{2}/\bigl(2^{\,n+1}(n+1)!\bigr)}{n^{2}/\bigl(2^{n}n!\bigr)} =\lim_{n\to\infty}\frac{(n+1)^{2}}{n^{2}}\;\frac{2^{n}}{2^{n+1}}\;\frac{n!}{(n+1)!} =\lim_{n\to\infty}\frac{n+1}{2\,n^{2}} =0.
Como L=0<1, a série converge absolutamente.

Passo 4

Uma série que converge absolutamente também converge. Portanto, a série original converge.

Resposta

A série converge.

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