44-\int \frac{5 x}{(x-1)(x+2)} d x

Passo 1

O enunciado pede calcular a expressão
44 \;-\;\int \frac{5x}{(x-1)(x+2)}\,dx.
Aqui vamos usar o método de frações parciais para integrar uma função racional.

Passo 2

Decompondo
\frac{5x}{(x-1)(x+2)} = \frac{A}{x-1} + \frac{B}{x+2},
multiplicando em ambos os lados por (x-1)(x+2)\) obtemos \[5x = A(x+2) + B(x-1).
Comparando coeficientes:
\begin{cases} A + B = 5,\\\\ 2A - B = 0, \end{cases}
logo A = \tfrac{5}{3}\] e \(B = \tfrac{10}{3}.

Passo 3

Substituindo na integral e integrando termo a termo:
\int \frac{5x}{(x-1)(x+2)}\,dx = \int\!\Bigl(\frac{\tfrac{5}{3}}{x-1} + \frac{\tfrac{10}{3}}{x+2}\Bigr)\,dx = \frac{5}{3}\ln\bigl|x-1\bigr| + \frac{10}{3}\ln\bigl|x+2\bigr| + C.

Passo 4

Voltando à expressão original,
44 \;-\;\int \frac{5x}{(x-1)(x+2)}\,dx = 44 \;-\;\Bigl(\frac{5}{3}\ln\bigl|x-1\bigr| + \frac{10}{3}\ln\bigl|x+2\bigr|\Bigr) + C.

Resposta

44 \;-\;\frac{5}{3}\ln\bigl|x-1\bigr| \;-\;\frac{10}{3}\ln\bigl|x+2\bigr| + C.

Exercícios relacionados