Determine se as séries abaixo convergem ou divergem.
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\operatorname{sen} n}{4^{n}};

Passo 1

O enunciado pede para decidir a convergência da série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\operatorname{sen}(n)}{4^{n}}.
O conteúdo aqui é teste de convergência de séries numéricas, em particular usar o critério de comparação para convergência absoluta.

Passo 2

Para verificar convergência absoluta, analisamos
\sum_{n=1}^{\infty} \biggl|\frac{\operatorname{sen}(n)}{4^{n}}\biggr| \le \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{4^{n}}.
Como \bigl|\operatorname{sen}(n)\bigr|\le1 e a série geométrica
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{4^{n}}
converge (razão 1/4<1), a série original converge absolutamente.

Passo 3

Convergência absoluta implica convergência da série dada.

Resposta

A série converge absolutamente e, portanto, converge.

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