Determine se as séries abaixo convergem:
sumn=1^+infty 1n raizln n

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão é saber se a série sumn=1^+infty 1n raizln n converge ou não. Isso envolve o conteúdo de séries infinitas e testes de convergência. Para resolver, vamos precisar entender e aplicar o Teste da Integral ou o Teste da Comparação.

Passo 2

Primeiro, vamos entender melhor a série que temos: sumn=1^+infty 1n raizln n. Cada termo da série é da forma 1n raizln n. Nosso objetivo é saber se a soma desses termos tende a um número finito ou se ela cresce sem limite.

Passo 3

Uma maneira eficiente de verificar a convergência de uma série é usar o Teste da Integral. Esse teste compara a série com uma integral correspondente. Se a integral de uma função contínua, positiva e decrescente converge, então a série também converge, e vice-versa.

Passo 4

Vamos aplicar o Teste da Integral. Primeiro, consideramos a função f(x) = 1x raizln x para x >= 2 (já que ln 1 = 0 e não podemos ter logaritmo de 1 no denominador). Precisamos calcular a integral:
integral2^+infty 1x raizln x , dx

Passo 5

Para resolver essa integral, fazemos uma substituição. Vamos deixar u = ln x, então du = 1x dx. Isso simplifica a integral para:
integralu=ln 2^+infty 1raizu , du

Passo 6

Agora, a integral fica mais simples:
integralln 2^+infty u^-1/2 , du
Sabemos que a integral de u^-1/2 é 2u^1/2, então vamos calcular os limites:
limb to +infty 2 raizb - 2 raizln 2

Passo 7

Observamos que raizb tende ao infinito quando b tende ao infinito. Portanto, a integral:
integral2^+infty 1x raizln x , dx = +infty
Isso significa que a integral diverge.

Passo 8

De acordo com o Teste da Integral, já que a integral correspondente diverge, a série original sumn=1^+infty 1n raizln n também diverge.

Resposta

A série sumn=1^+infty 1n raizln n não converge; ela diverge.

Exercícios relacionados