Determine se as séries abaixo convergem:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão é saber se a série
converge ou não. Isso envolve o conteúdo de séries infinitas e testes de convergência. Para resolver, vamos precisar entender e aplicar o Teste da Integral ou o Teste da Comparação.
Passo 2
Primeiro, vamos entender melhor a série que temos:
. Cada termo da série é da forma
. Nosso objetivo é saber se a soma desses termos tende a um número finito ou se ela cresce sem limite.
Passo 3
Uma maneira eficiente de verificar a convergência de uma série é usar o Teste da Integral. Esse teste compara a série com uma integral correspondente. Se a integral de uma função contínua, positiva e decrescente converge, então a série também converge, e vice-versa.
Passo 4
Vamos aplicar o Teste da Integral. Primeiro, consideramos a função
para
(já que
e não podemos ter logaritmo de 1 no denominador). Precisamos calcular a integral:
Passo 5
Para resolver essa integral, fazemos uma substituição. Vamos deixar
, então
. Isso simplifica a integral para:
Passo 6
Agora, a integral fica mais simples:
Sabemos que a integral de
é
, então vamos calcular os limites:
Passo 7
Observamos que
tende ao infinito quando
tende ao infinito. Portanto, a integral:
Isso significa que a integral diverge.
Passo 8
De acordo com o Teste da Integral, já que a integral correspondente diverge, a série original
também diverge.
Resposta
A série
não converge; ela diverge.