Obtenha a fórmula SN e determine se as séries infinitas são convergentes ou divergentes:
sumn=1^+infty 4(n^2-4)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente encontrar a fórmula da soma parcial $ S_{N} $ da série $ \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{4}{n^{2} - 4} $ e determinar se essa série infinita converge ou diverge. Para isso, vamos precisar entender sobre séries infinitas, somas parciais e decomposição em frações parciais.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma soma parcial $ S_{N} $. Ela representa a soma dos primeiros $ N $ termos da série. No nosso caso:
SN
Nosso objetivo é encontrar uma expressão geral para $ S_{N} $.

Passo 3

Para somar os termos da série, uma técnica útil é a decomposição em frações parciais. Isso ajuda a simplificar cada termo para facilitar a soma. Vamos aplicar essa técnica na expressão $ \frac{4}{n^{2} - 4} $.
Primeiro, fatoramos o denominador:
4n^2 - 4
Então, podemos escrever:
n^2 - 4 = (n - 2)(n + 2)
Agora, vamos expressar essa fração como a soma de duas frações simples:
4n^2 - 4 = 4(n - 2)(n + 2)

Passo 4

Para encontrar os valores de $ A $ e $ B $, multiplicamos ambos os lados da equação por $ (n - 2)(n + 2) $:
A
Agora, vamos escolher valores de $ n $ que simplifiquem a equação:
  • Se $ n = 2 $:
B
  • Se $ n = -2 $:
(n - 2)(n + 2)
Então, temos:
4 = A(n + 2) + B(n - 2)

Passo 5

Agora, substituímos essa expressão na soma parcial $ S_{N} $:
SN
Vamos separar as somas:
SN = sumn=1^N ( 1n - 2 - 1n + 2 )
Agora, vamos ajustar os índices para facilitar a soma:
Para a primeira soma, fazemos a substituição $ k = n - 2 $, então quando $ n = 1 $, $ k = -1 $, e quando $ n = N $, $ k = N - 2 $:
SN = sumn=1^N 1n - 2 - sumn=1^N 1n + 2
Para a segunda soma, fazemos $ m = n + 2 $, então quando $ n = 1 $, $ m = 3 $, e quando $ n = N $, $ m = N + 2 $:
k = n - 2

Passo 6

Agora, escrevemos as somas ajustadas:
SN = ( 1-1 + 10 + sumk=1^N-2 1k ) - summ=3^N+2 1m
Observamos que $ \frac{1}{0} $ não está definida, o que indica que a série original tem um termo indefinido para $ n = 2 $. Contudo, para fins de continuação, consideramos a série começando de $ n = 3 $:
10

Passo 7

Agora, organizamos as somas:
SN = -1 + ( sumk=1^N-2 1k - summ=3^N+2 1m )
Vamos expandir as somas para ver se há termos que se cancelam:
sumk=1^N-2 1k = 11 + 12 + cdots + 1N-2
summ=3^N+2 1m = 13 + 14 + cdots + 1N+2
Então,
SN = -1 + ( 11 + 12 + cdots + 1N-2 - 13 - 14 - cdots - 1N+2 )

Passo 8

Observamos que alguns termos se cancelam:
SN = -1 + ( 11 + 12 - 1N-1 - 1N - 1N+1 - 1N+2 )
Simplificando:
SN = -1 + 1 + 12 - 1N-1 - 1N - 1N+1 - 1N+2
SN = 12 - 1N-1 - 1N - 1N+1 - 1N+2

Passo 9

Então, a fórmula da soma parcial $ S_{N} $ é:
SN

Passo 10

Agora, vamos analisar o comportamento da série infinita. Para isso, observamos o limite de $ S_{N} $ quando $ N $ tende ao infinito:
SN
Sabemos que $ \lim_{N \to +\infty} \frac{1}{N} = 0 $. Portanto:
N

Resposta

A fórmula da soma parcial $ S_{N} $ é:
SN
E a série infinita $ \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{4}{n^{2} - 4} $ converge para $ \frac{1}{2} $.

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