Obtenha a fórmula
e determine se as séries infinitas são convergentes ou divergentes:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente encontrar a fórmula da soma parcial $ S_{N} $ da série $ \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{4}{n^{2} - 4} $ e determinar se essa série infinita converge ou diverge. Para isso, vamos precisar entender sobre séries infinitas, somas parciais e decomposição em frações parciais.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma soma parcial $ S_{N} $. Ela representa a soma dos primeiros $ N $ termos da série. No nosso caso:
Nosso objetivo é encontrar uma expressão geral para $ S_{N} $.
Passo 3
Para somar os termos da série, uma técnica útil é a decomposição em frações parciais. Isso ajuda a simplificar cada termo para facilitar a soma. Vamos aplicar essa técnica na expressão $ \frac{4}{n^{2} - 4} $.
Primeiro, fatoramos o denominador:
Então, podemos escrever:
Agora, vamos expressar essa fração como a soma de duas frações simples:
Passo 4
Para encontrar os valores de $ A $ e $ B $, multiplicamos ambos os lados da equação por $ (n - 2)(n + 2) $:
Agora, vamos escolher valores de $ n $ que simplifiquem a equação:
- Se $ n = 2 $:
- Se $ n = -2 $:
Então, temos:
Passo 5
Agora, substituímos essa expressão na soma parcial $ S_{N} $:
Vamos separar as somas:
Agora, vamos ajustar os índices para facilitar a soma:
Para a primeira soma, fazemos a substituição $ k = n - 2 $, então quando $ n = 1 $, $ k = -1 $, e quando $ n = N $, $ k = N - 2 $:
Para a segunda soma, fazemos $ m = n + 2 $, então quando $ n = 1 $, $ m = 3 $, e quando $ n = N $, $ m = N + 2 $:
Passo 6
Agora, escrevemos as somas ajustadas:
Observamos que $ \frac{1}{0} $ não está definida, o que indica que a série original tem um termo indefinido para $ n = 2 $. Contudo, para fins de continuação, consideramos a série começando de $ n = 3 $:
Passo 7
Agora, organizamos as somas:
Vamos expandir as somas para ver se há termos que se cancelam:
Então,
Passo 8
Observamos que alguns termos se cancelam:
Simplificando:
Passo 9
Então, a fórmula da soma parcial $ S_{N} $ é:
Passo 10
Agora, vamos analisar o comportamento da série infinita. Para isso, observamos o limite de $ S_{N} $ quando $ N $ tende ao infinito:
Sabemos que $ \lim_{N \to +\infty} \frac{1}{N} = 0 $. Portanto:
Resposta
A fórmula da soma parcial $ S_{N} $ é:
E a série infinita $ \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{4}{n^{2} - 4} $ converge para $ \frac{1}{2} $.