Verifique se as sequēncias abaixo são monótonas e limitadas
cn=n!1.3 5 ldots(2 n-1)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente verificar se a sequência $ c_{n} = \frac{n!}{1 \cdot 3 \cdot 5 \cdots (2n-1)} $ é monótona e se ela é limitada. Monótona significa que a sequência está sempre aumentando ou sempre diminuindo. Já ser limitada quer dizer que ela não cresce até o infinito nem desce além de certos valores. Para resolver isso, vamos analisar o comportamento de $ c_n $ conforme $ n $ aumenta.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se a sequência é monótona. Para isso, vamos comparar termos consecutivos, ou seja, $ c_{n+1} $ e $ c_n $.
Calculando $ c_{n+1} $:
cn+1
Agora, vamos calcular a razão $ \frac{c_{n+1}}{c_n} $:
cn
Observando a fração $ \frac{n+1}{2n+1} $, para qualquer $ n \geq 1 $, ela será menor que 1 porque o denominador cresce mais rápido que o numerador. Isso significa que cada termo $ c_{n+1} $ é menor que o termo anterior $ c_n $.
Portanto, a sequência $ c_n $ é monotonamente decrescente.

Passo 3

Agora, vamos ver se a sequência é limitada. Sabemos que $ c_n $ é sempre positiva, já que é uma divisão de fatorial por números positivos. Além disso, como a sequência é decrescente, ela vai se aproximando de um limite inferior.
Vamos calcular o limite de $ c_n $ quando $ n $ tende ao infinito:
cn
O denominador $ 1 \cdot 3 \cdot 5 \cdots (2n-1) $ cresce mais rápido que o numerador $ n! $, então o limite será 0.
Isso significa que a sequência está limitada inferiormente por 0. Como também vimos que $ c_1 = 1 $, a sequência está limitada superiormente por 1.

Resposta

A sequência $ c_n = \frac{n!}{1 \cdot 3 \cdot 5 \cdots (2n-1)} $ é monotonamente decrescente e está limitada entre 0 e 1.

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