Determine se as séries abaixo convergem:
sumn=1^+infty 32 n-raizn

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente descobrir se a série
sumn=1^+infty 32n - raizn
converge ou não. Isso está relacionado ao estudo de séries infinitas, mais especificamente aos testes de convergência que usamos para saber se a soma infinita dá um número finito ou não. Para resolver isso, vamos analisar o comportamento dos termos da série conforme $ n $ cresce.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar o Teste da Divergência (ou Teste do Termo Geral). Esse teste é bem simples: se o limite do termo geral quando $ n $ tende ao infinito não for zero, a série diverge. Então, vamos calcular:
n
Simplificando o denominador:
limn to infty 32n - raizn
Então, o limite fica:
2n - raizn = n (2 - 1raizn)
Como o limite do termo geral é zero, o teste da divergência não nos dá resposta. Precisamos tentar outro teste.

Passo 3

Vamos usar o Teste de Comparação. Observamos que para grandes valores de $ n $, o termo $ 2n - \sqrt{n} $ é aproximadamente $ 2n $, já que $ \sqrt{n} $ cresce muito mais devagar que $ n $. Assim, podemos comparar nossa série com:
n
Sabemos que a série $ \sum \frac{1}{n} $ é a Série Harmônica, que é conhecida por divergir.

Passo 4

Como os termos da nossa série são comparáveis aos termos de uma série divergente e os termos da nossa série não são menores em valor (para $ n $ grande, $ 2n - \sqrt{n} < 2n $, então $ \frac{3}{2n - \sqrt{n}} > \frac{3}{2n} $), pelo Teste de Comparação, nossa série também diverge.

Resposta

A série sumn=1^+infty 32n - raizn diverge.

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