Determine se as séries abaixo convergem:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente descobrir se a série
converge ou não. Isso está relacionado ao estudo de séries infinitas, mais especificamente aos testes de convergência que usamos para saber se a soma infinita dá um número finito ou não. Para resolver isso, vamos analisar o comportamento dos termos da série conforme $ n $ cresce.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar o Teste da Divergência (ou Teste do Termo Geral). Esse teste é bem simples: se o limite do termo geral quando $ n $ tende ao infinito não for zero, a série diverge. Então, vamos calcular:
Simplificando o denominador:
Então, o limite fica:
Como o limite do termo geral é zero, o teste da divergência não nos dá resposta. Precisamos tentar outro teste.
Passo 3
Vamos usar o Teste de Comparação. Observamos que para grandes valores de $ n $, o termo $ 2n - \sqrt{n} $ é aproximadamente $ 2n $, já que $ \sqrt{n} $ cresce muito mais devagar que $ n $. Assim, podemos comparar nossa série com:
Sabemos que a série $ \sum \frac{1}{n} $ é a Série Harmônica, que é conhecida por divergir.
Passo 4
Como os termos da nossa série são comparáveis aos termos de uma série divergente e os termos da nossa série não são menores em valor (para $ n $ grande, $ 2n - \sqrt{n} < 2n $, então $ \frac{3}{2n - \sqrt{n}} > \frac{3}{2n} $), pelo Teste de Comparação, nossa série também diverge.
Resposta
A série
diverge.