De quantos modos podemos distribuir 3 moedas de 25 centavos, 5 moedas de 50 centavos e 4 moedas de 1 real entre dois meninos, de maneira que cada menino receba pelo menos uma moeda?

Passo 1

O enunciado pede para distribuir moedas idênticas de três valores diferentes entre dois meninos, exigindo que cada menino receba pelo menos uma moeda. O conteúdo necessário é o princípio multiplicativo para objetos idênticos e o princípio da inclusão–exclusão para eliminar distribuições em que um dos meninos não receba nenhuma moeda.

Passo 2

Sem a condição “cada menino receba pelo menos uma moeda”, contamos todas as distribuições possíveis. Para cada tipo de moeda, basta escolher quantas vão para o menino A (o restante vai para o B). Assim:
– moedas de 25 c: podemos dar 0,1,2 ou 3 para A, ou seja, 3+1=4 opções;
– moedas de 50 c: 0,1,2,3,4 ou 5 para A, ou seja, 5+1=6 opções;
– moedas de 1 R$: 0,1,2,3 ou 4 para A, ou seja, 4+1=5 opções.
Pelo princípio multiplicativo, o total é
4 times 6 times 5 = 120

Passo 3

Agora removemos os casos inválidos em que um dos meninos não recebe nenhuma moeda.
– Se o menino A não recebe moeda alguma, há exatamente 1 forma (todas as moedas vão para B).
– Se o menino B não recebe moeda alguma, também há exatamente 1 forma.
Pelo princípio da inclusão–exclusão, subtraímos 1+1=2 desses 120.

Passo 4

Portanto, o número de distribuições em que cada menino recebe pelo menos uma moeda é
120 - 2 = 118

Resposta

118

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