De quantos modos podemos distribuir 3 moedas de 25 centavos, 5 moedas de 50 centavos e 4 moedas de 1 real entre dois meninos, de maneira que cada menino receba pelo menos uma moeda?
Passo 1
O enunciado pede para distribuir moedas idênticas de três valores diferentes entre dois meninos, exigindo que cada menino receba pelo menos uma moeda. O conteúdo necessário é o princípio multiplicativo para objetos idênticos e o princípio da inclusão–exclusão para eliminar distribuições em que um dos meninos não receba nenhuma moeda.
Passo 2
Sem a condição “cada menino receba pelo menos uma moeda”, contamos todas as distribuições possíveis. Para cada tipo de moeda, basta escolher quantas vão para o menino A (o restante vai para o B). Assim:
– moedas de c: podemos dar
ou
para A, ou seja,
opções;
– moedas de c:
ou
para A, ou seja,
opções;
– moedas de R$:
ou
para A, ou seja,
opções.
Pelo princípio multiplicativo, o total é
– moedas de
– moedas de
– moedas de
Pelo princípio multiplicativo, o total é
Passo 3
Agora removemos os casos inválidos em que um dos meninos não recebe nenhuma moeda.
– Se o menino A não recebe moeda alguma, há exatamente forma (todas as moedas vão para B).
– Se o menino B não recebe moeda alguma, também há exatamente forma.
Pelo princípio da inclusão–exclusão, subtraímos desses
.
– Se o menino A não recebe moeda alguma, há exatamente
– Se o menino B não recebe moeda alguma, também há exatamente
Pelo princípio da inclusão–exclusão, subtraímos
Passo 4
Portanto, o número de distribuições em que cada menino recebe pelo menos uma moeda é