Determine se as séries abaixo são absolutamente convergente, condicionalmente convergente, ou divergente. Use qualquer teste que pareça mais apropriado para justificar sua resposta.

Passo 1

O enunciado pede para classificar a série
sumn=1^infty(-1)^n,1+4^n1+3^n
como absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente. Vamos usar primeiramente um teste de convergência absoluta (por exemplo, o teste da raiz) e depois verificar a condição necessária de convergência (isto é, se o termo geral tende a zero).

Passo 2

Analisando a convergência absoluta, consideramos
sumn=1^inftyl|(-1)^n,1+4^n1+3^nr| = sumn=1^infty1+4^n1+3^n.
Para n grande, 1+4^nsim4^n e 1+3^nsim3^n, logo
raiz[n]1+4^n1+3^n ;=;raiz[n]1+4^nraiz[n]1+3^n ;longrightarrow;43>1
Pelo teste da raiz, como o limite da n-ésima raiz é maior que 1, a série de termos positivos diverge. Portanto, a série original não é absolutamente convergente.

Passo 3

Para verificar convergência simples (ou condicional) observamos o termo geral
an=(-1)^n1+4^n1+3^n.
O limite de an quando ntoinfty é
limntoinftyan =limntoinfty(-1)^n,1+4^n1+3^n sim(-1)^n,4^n3^n =;(-1)^nl(43r)^n,
e esse não tende a zero (na verdade seu módulo cresce). Como condição necessária para convergência de qualquer série é limntoinftyan=0, concluímos que a série não converge nem condicionalmente.

Resposta

A série diverge.

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