Determine se as séries abaixo são absolutamente convergente, condicionalmente convergente, ou divergente. Use qualquer teste que pareça mais apropriado para justificar sua resposta.
Passo 1
O enunciado pede para classificar a série
como absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente. Vamos usar primeiramente um teste de convergência absoluta (por exemplo, o teste da raiz) e depois verificar a condição necessária de convergência (isto é, se o termo geral tende a zero).
Passo 2
Analisando a convergência absoluta, consideramos .
Para n grande, 1+4^nsim4^n e 1+3^nsim3^n, logo
Pelo teste da raiz, como o limite da n-ésima raiz é maior que 1, a série de termos positivos diverge. Portanto, a série original não é absolutamente convergente.
Passo 3
Para verificar convergência simples (ou condicional) observamos o termo geral an=(-1)^n1+4^n1+3^n.
O limite de an quando ntoinfty é
e esse não tende a zero (na verdade seu módulo cresce). Como condição necessária para convergência de qualquer série é limntoinftyan=0, concluímos que a série não converge nem condicionalmente.