Determine se as séries abaixo são absolutamente convergente, condicionalmente convergente, ou divergente. Use qualquer teste que pareça mais apropriado para justificar sua resposta.

Passo 1

O enunciado pede para analisar a série
sumn=1^infty(-1)^n,1lnl(e^n+e^-nr)
e determinar se ela é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente. Vamos precisar de dois testes: comparação da série de termos absolutos e o critério de Leibniz para séries alternadas.

Passo 2

Primeiro, simplificamos o termo lnl(e^n+e^-nr). Para n grande temos
lnl(e^n+e^-nr) =lnl(e^n(1+e^-2n)r) =n+lnl(1+e^-2nr) sim n,
pois ln(1+e^-2n)to0. Logo, para n grande,
1lnl(e^n+e^-nr)sim1n

Passo 3

Analisamos a convergência absoluta, ou seja, da série
sumn=1^infty|(-1)^nlnl(e^n+e^-nr)| =sumn=1^infty1lnl(e^n+e^-nr)
Como 1ln(e^n+e^-n)sim1n e sum1/n diverge (série harmônica), pela comparação a série dos valores absolutos diverge.

Passo 4

Para verificar convergência condicional, aplicamos o critério de Leibniz à série alternada
sumn=1^infty(-1)^nbn, bn=1lnl(e^n+e^-nr)
Precisamos checar que bn é decrescente e limntoinftybn=0.
  1. Limite de bn:
limntoinftybn =limntoinfty1n+ln(1+e^-2n) =0
  1. Monotonicidade de bn: a função
f(x)=lnl(e^x+e^-xr)
tem derivada
f'(x)=e^x-e^-xe^x+e^-x=tanh(x)>0(forall x>0),
logo f é crescente e bn=1/f(n) é decrescente.
Portanto, todas as hipóteses do critério de Leibniz estão satisfeitas e a série alternada converge.

Resposta

A série é condicionalmente convergente.

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