Determine se as séries abaixo são absolutamente convergente, condicionalmente convergente, ou divergente. Use qualquer teste que pareça mais apropriado para justificar sua resposta.
Passo 1
O enunciado pede para analisar a série
e determinar se ela é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente. Vamos precisar de dois testes: comparação da série de termos absolutos e o critério de Leibniz para séries alternadas.
Passo 2
Primeiro, simplificamos o termo . Para grande temos
pois . Logo, para grande,
Passo 3
Analisamos a convergência absoluta, ou seja, da série
Como 1ln(e^n+e^-n)sim1n e sum1/n diverge (série harmônica), pela comparação a série dos valores absolutos diverge.
Passo 4
Para verificar convergência condicional, aplicamos o critério de Leibniz à série alternada
sumn=1^infty(-1)^nbn, bn=1lnl(e^n+e^-nr)
Precisamos checar que bn é decrescente e limntoinftybn=0.
Limite de bn:
limntoinftybn =limntoinfty1n+ln(1+e^-2n) =0
Monotonicidade de bn: a função
f(x)=lnl(e^x+e^-xr)
tem derivada
f'(x)=e^x-e^-xe^x+e^-x=tanh(x)>0(forall x>0),
logo f é crescente e bn=1/f(n) é decrescente.
Portanto, todas as hipóteses do critério de Leibniz estão satisfeitas e a série alternada converge.