Determine se as séries abaixo são convergentes ou divergentes, justificando sua resposta:
\sum_{n=0}^{\infty} \frac{3}{10^{n}}

Passo 1

O enunciado pede para determinar se a série
\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} \frac{3}{10^{n}}
é convergente ou divergente. Este é um caso de série geométrica, cuja resolução exige reconhecer a forma padrão, aplicar o critério de convergência para séries geométricas e, se convergente, usar a fórmula da soma.

Passo 2

Observe que o termo geral pode ser reescrito como
\frac{3}{10^{n}} = 3\Bigl(\frac{1}{10}\Bigr)^{n}.
Logo, trata-se de uma série geométrica com primeiro termo a=3 e razão r=\tfrac{1}{10}.

Passo 3

Para uma série geométrica de termo geral ar^n:
  • ela converge se e somente se \lvert r\rvert<1,
  • e, neste caso, sua soma é
\sum_{n=0}^{\infty} ar^n = \frac{a}{1-r}.

Passo 4

Aqui temos r=\tfrac{1}{10}, de modo que
\bigl\lvert r\bigr\rvert = \frac{1}{10} < 1.
Portanto a série converge.

Passo 5

Aplicando a fórmula da soma com a=3 e r=\tfrac{1}{10}, obtemos
\sum_{n=0}^{\infty} \frac{3}{10^n} = \frac{3}{1 - \tfrac{1}{10}} = \frac{3}{\tfrac{9}{10}} = \frac{30}{9} = \frac{10}{3}.

Resposta

A série converge e seu valor é \tfrac{10}{3}.

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