Determine se as séries abaixo são convergentes ou divergentes, justificando sua resposta: \sum_{n=0}^{\infty} \frac{3}{10^{n}}
Passo 1
O enunciado pede para determinar se a série \displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} \frac{3}{10^{n}}
é convergente ou divergente. Este é um caso de série geométrica, cuja resolução exige reconhecer a forma padrão, aplicar o critério de convergência para séries geométricas e, se convergente, usar a fórmula da soma.
Passo 2
Observe que o termo geral pode ser reescrito como
\frac{3}{10^{n}} = 3\Bigl(\frac{1}{10}\Bigr)^{n}.
Logo, trata-se de uma série geométrica com primeiro termo a=3 e razão r=\tfrac{1}{10}.
Passo 3
Para uma série geométrica de termo geral ar^n:
ela converge se e somente se \lvert r\rvert<1,
e, neste caso, sua soma é
\sum_{n=0}^{\infty} ar^n = \frac{a}{1-r}.
Passo 4
Aqui temos r=\tfrac{1}{10}, de modo que
\bigl\lvert r\bigr\rvert = \frac{1}{10} < 1.
Portanto a série converge.
Passo 5
Aplicando a fórmula da soma com a=3 e r=\tfrac{1}{10}, obtemos