Determine se as séries abaixo são convergentes ou divergentes, justificando sua resposta:
\sum_{n=2}^{\infty} \frac{n}{2 n^{3}-3 n+7}

Passo 1

O enunciado pede para analisar a convergência da série de termos positivos
\sum_{n=2}^{\infty} \frac{n}{2n^{3}-3n+7}.
O conteúdo é “séries de termos positivos” e vamos usar o Teste da Comparação Limite (ou “limit comparison”) com uma série p conhecida.

Passo 2

Observamos o comportamento assintótico de
a_n = \frac{n}{2n^{3}-3n+7}
quando n\to\infty. Como o termo dominante no denominador é 2n^3, temos
a_n \sim \frac{n}{2n^3} = \frac{1}{2n^2}.

Passo 3

Lembramos que a série de referência
\sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{n^2}
é uma série p com p=2>1, logo convergente.

Passo 4

Aplicamos o Teste da Comparação Limite entre
a_n = \frac{n}{2n^{3}-3n+7} \quad\text{e}\quad b_n = \frac{1}{n^2}.
Calculamos
\lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{b_n} = \lim_{n\to\infty}\frac{\frac{n}{2n^{3}-3n+7}}{\frac{1}{n^2}} = \lim_{n\to\infty}\frac{n^3}{2n^3-3n+7} = \frac{1}{2}\,,
um número finito e estritamente positivo.

Passo 5

Como
\lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{b_n}=\tfrac12\in(0,\infty)
e \sum b_n converge, conclui-se que \sum a_n também converge.

Resposta

A série \displaystyle\sum_{n=2}^{\infty} \frac{n}{2n^{3}-3n+7} é convergente.

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