Determine se as séries abaixo são convergentes ou divergentes, justificando sua resposta: \sum_{n=1}^{\infty} \frac{2^{n}}{n^{5}}
Passo 1
O enunciado pede para determinar se a série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{2^{n}}{n^{5}}
é convergente ou divergente. O conteúdo da matéria envolvido é o teste da razão (ou teste da raiz), que serve para séries cujos termos envolvem fatoriais, potências ou exponenciais. Vamos usar o teste da razão para justificar a resposta.
Passo 2
Seja
a_{n} = \frac{2^{n}}{n^{5}}.
Aplicamos o teste da razão, calculando o limite
L = \lim_{n\to\infty} \left|\frac{a_{n+1}}{a_{n}}\right|.