Determine se as séries abaixo são convergentes ou divergentes, justificando sua resposta:
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{2^{n}}{n^{5}}

Passo 1

O enunciado pede para determinar se a série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{2^{n}}{n^{5}}
é convergente ou divergente. O conteúdo da matéria envolvido é o teste da razão (ou teste da raiz), que serve para séries cujos termos envolvem fatoriais, potências ou exponenciais. Vamos usar o teste da razão para justificar a resposta.

Passo 2

Seja
a_{n} = \frac{2^{n}}{n^{5}}.
Aplicamos o teste da razão, calculando o limite
L = \lim_{n\to\infty} \left|\frac{a_{n+1}}{a_{n}}\right|.

Passo 3

Temos
\frac{a_{n+1}}{a_{n}} = \frac{2^{\,n+1}/(n+1)^{5}}{2^{\,n}/n^{5}} = 2 \,\frac{n^{5}}{(n+1)^{5}} = 2 \left(\frac{n}{n+1}\right)^{5}.
Portanto
L = \lim_{n\to\infty} 2 \left(\frac{n}{n+1}\right)^{5} = 2 \cdot 1 = 2.

Passo 4

Como no teste da razão se L>1 a série diverge, concluímos que
L = 2 > 1 \quad\Longrightarrow\quad \sum_{n=1}^{\infty} \frac{2^{n}}{n^{5}}
é divergente.

Resposta

A série diverge.

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