Determine quais séries convergem absolutamente ou condicionalmente
sumn=1^infty (-1)^n-1(n)^2 / 3.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente determinar se a série sumn=1^infty (-1)^n-1n^2/3 converge de forma absoluta ou condicional. A matéria que vamos usar aqui é sobre convergência de séries, especificamente convergência absoluta e convergência condicional. Para resolver isso, vamos analisar o comportamento da série tanto com os termos absolutos quanto mantendo o sinal alternado.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar a convergência absoluta. Isso significa que a gente olha para a série com todos os termos positivos, ou seja:
sumn=1^infty | (-1)^n-1n^2/3 | = sumn=1^infty 1n^2/3
Essa é uma série p, onde a soma é da forma sum 1n^p. Sabemos que uma série p converge se p > 1 e diverge se p <= 1. Aqui, p = 23, que é menor que 1. Portanto, a série com os termos absolutos diverge.

Passo 3

Como a série com os termos absolutos divergiu, agora vamos verificar a convergência condicional. Para isso, usamos o Teste da Série Alternada (ou Teste de Leibniz), que diz que se uma série alternada satisfaz duas condições, ela converge:
  1. Os termos an = 1n^2/3 são decrescentes.
  2. O limite dos termos é zero: limn to infty 1n^2/3 = 0.
Vamos checar essas condições:
  1. Decrescimento: À medida que n aumenta, n^2/3 também aumenta, então 1n^2/3 diminui. Portanto, os termos são decrescentes.
  2. Limite zero: De fato, limn to infty 1n^2/3 = 0.
Como as duas condições são satisfeitas, a série converge condicionalmente.

Resposta

A série sumn=1^infty (-1)^n-1n^2/3 converge condicionalmente.

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