Determine quais séries convergem absolutamente ou condicionalmente .
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente determinar se a série converge de forma absoluta ou condicional. A matéria que vamos usar aqui é sobre convergência de séries, especificamente convergência absoluta e convergência condicional. Para resolver isso, vamos analisar o comportamento da série tanto com os termos absolutos quanto mantendo o sinal alternado.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar a convergência absoluta. Isso significa que a gente olha para a série com todos os termos positivos, ou seja:
Essa é uma série p, onde a soma é da forma sum 1n^p. Sabemos que uma série p converge se p > 1 e diverge se p <= 1. Aqui, p = 23, que é menor que 1. Portanto, a série com os termos absolutos diverge.
Passo 3
Como a série com os termos absolutos divergiu, agora vamos verificar a convergência condicional. Para isso, usamos o Teste da Série Alternada (ou Teste de Leibniz), que diz que se uma série alternada satisfaz duas condições, ela converge:
Os termos an = 1n^2/3 são decrescentes.
O limite dos termos é zero: limn to infty 1n^2/3 = 0.
Vamos checar essas condições:
Decrescimento: À medida que n aumenta, n^2/3 também aumenta, então 1n^2/3 diminui. Portanto, os termos são decrescentes.
Limite zero: De fato, limn to infty 1n^2/3 = 0.
Como as duas condições são satisfeitas, a série converge condicionalmente.
Resposta
A série sumn=1^infty (-1)^n-1n^2/3converge condicionalmente.