Calcule as integrais primitivas e aprensete os calculos:
integral x^-2 ln x d x

Passo 1

Beleza! A gente vai calcular a integral primitiva de integral x^-2 ln x , dx . Isso faz parte de cálculo integral, especificamente utilizando o método de integração por partes. Vamos precisar lembrar como aplicar essa técnica para resolver a integral.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é integração por partes. A fórmula é:
integral u , dv = uv - integral v , du
Precisamos escolher quais partes da nossa integral vão ser u e dv . Geralmente, escolhemos u para ser a parte que simplifica quando derivada, e dv para ser a parte que conseguimos integrar facilmente.

Passo 3

No nosso caso, vamos escolher:
u = ln x e dv = x^-2 dx
Agora, vamos derivar u e integrar dv :
du = 1x dx
v = integral x^-2 dx = -x^-1

Passo 4

Aplicando a fórmula da integração por partes:
integral x^-2 ln x , dx = uv - integral v , du
= ln x cdot (-x^-1) - integral (-x^-1) cdot 1x dx
= -ln xx + integral 1x^2 dx

Passo 5

Agora, vamos resolver a integral que ficou:
integral 1x^2 dx = integral x^-2 dx = -x^-1 + C = -1x + C

Passo 6

Substituindo de volta na expressão anterior:
-ln xx + ( -1x ) + C
= -ln xx - 1x + C

Resposta

A integral primitiva é:
integral x^-2 ln x , dx = -ln xx - 1x + C

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