Determine se as séries convergem ou divergem:
sumn=1^infty e^-nn

Passo 1

O enunciado pede para analisar a convergência da série de termos positivos
sumn=1^inftye^-nn
O conteúdo principal é teste de comparação para séries com termos positivos e, opcionalmente, reconhecimento de série de potências.

Passo 2

Note que, para todo n>=1,
0<= e^-nn<= e^-n
Como sumn=1^inftye^-n é uma série geométrica de razão 1/e<1, temos
sumn=1^inftye^-n=1/e1-1/e=1e-1<infty
Pelo teste da comparação, a série dada converge.

Passo 3

Como todos os termos são não negativos, essa convergência é absoluta. Logo
sumn=1^inftye^-nn
é convergente.

Passo 4

Opcionalmente, reconhecemos a série de potências
sumn=1^inftyx^nn=-ln(1-x)para |x|<1
Tomando x=e^-1, obtemos
sumn=1^inftye^-nn=-lnl(1-e^-1r)

Resposta

A série converge (convergência absoluta).

Exercícios relacionados