Determine se as séries geométricas abaixo convergem ou divergem:
\sum_{n=0}^{\infty}\left(\frac{5}{4}\right)^{n}

Passo 1

O enunciado pede para determinar se a série
\sum_{n=0}^{\infty}\left(\frac{5}{4}\right)^{n}
converge ou diverge.
Informações dadas:
  • A série é uma série infinita cujos termos são a_n=\left(\dfrac{5}{4}\right)^{n}.
  • Não há mais dados; a pergunta é apenas: converge ou diverge?

Passo 2

Vamos lembrar o que é uma série geométrica e uma fórmula útil (aqui a explicação é passo a passo, para você entender e decorar para a prova).
Definição e notação:
  • Uma série geométrica é uma série da forma \sum_{n=0}^{\infty} a\,r^{n}, onde a é o primeiro termo (quando n=0) e r é a razão comum.
  • No nosso caso, a=1 (porque (5/4)^0=1) e r=\dfrac{5}{4}.
Derivação da fórmula da soma parcial (útil para entender o comportamento):
  • Seja a soma parcial até N
S_{N}=\sum_{n=0}^{N} a\,r^{n}=a + a r + a r^{2} + \cdots + a r^{N}.
  • Multiplicando por r temos
r S_{N}=a r + a r^{2} + \cdots + a r^{N} + a r^{N+1}.
  • Subtraindo essas duas equações (primeira menos a segunda) cancela quase todos os termos:
S_{N}-r S_{N}=a - a r^{N+1}.
  • Fatorando S_{N}(1-r)=a(1-r^{N+1}). Como r\neq1, isolamos S_{N}:
S_{N}=\frac{a\bigl(1-r^{N+1}\bigr)}{1-r}.
  • Observação importante (critério de convergência): se |r|<1, então r^{N+1}\to 0 quando N\to\infty, e portanto S_{N} tende para a soma infinita
\sum_{n=0}^{\infty} a r^{n}=\frac{a}{1-r}\qquad\text{(quando \(|r|<1\))}.
Se |r|\ge 1, então r^{N+1} não tende a zero (ou diverge em módulo), e os S_{N} não convergem para um número finito — logo a série diverge.

Passo 3

Agora identifique a e r no nosso caso:
  • a=1.
  • r=\dfrac{5}{4}.
    Calcule o módulo da razão:
\left|r\right|=\left|\frac{5}{4}\right|=\frac{5}{4}=1{,}25>1.

Passo 4

Aplicando o critério da série geométrica: como \left|r\right|>1, a condição necessária para convergência de uma série geométrica (que é \left|r\right|<1) não é satisfeita. Portanto a série não converge.
Além disso, pelo teste do termo geral: se uma série \sum a_n converge então necessariamente \lim_{n\to\infty} a_n=0. Aqui
a_n=\left(\frac{5}{4}\right)^{n}
e
\lim_{n\to\infty}\left(\frac{5}{4}\right)^{n}=\infty\neq 0.
Portanto a série diverge já por esse teste (os termos não tendem a zero).

Passo 5

Para ver explicitamente que as somas parciais explodem, use a fórmula com a=1 e r=\dfrac{5}{4}:
S_{N}=\frac{1-\left(\dfrac{5}{4}\right)^{N+1}}{1-\dfrac{5}{4}}.
Simplificando o denominador 1-\dfrac{5}{4}=-\dfrac{1}{4} e mudando o sinal,
S_{N}=\frac{\left(\dfrac{5}{4}\right)^{N+1}-1}{\dfrac{5}{4}-1} =4\left(\left(\frac{5}{4}\right)^{N+1}-1\right).
Como \left(\dfrac{5}{4}\right)^{N+1}\to\infty quando N\to\infty, segue que S_{N}\to\infty. Ou seja, as somas parciais crescem sem limite: divergência para +\infty.

Passo 6

Resumo prático para a prova (dica amiga): ao ver uma série geométrica \sum a r^{n} cheque logo |r|. Se |r|<1 a soma existe e é \dfrac{a}{1-r}. Se |r|\ge1 já sabe: diverge — muitas vezes mais rápido, porque os termos não vão a zero.

Resposta

A série diverge.

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