Calcule a soma das seguintes séries geométricas:
\sum_{n=0}^{\infty}\left(\frac{1}{3}\right)^{n}

Passo 1

O que o enunciado pede e quais informações temos:
  • Pede calcular a soma da série infinita \displaystyle \sum_{n=0}^{\infty}\left(\frac{1}{3}\right)^{n}.
  • Da própria escrita da série já temos duas informações importantes:
    • o primeiro termo (quando n=0) é \left(\frac{1}{3}\right)^{0};
    • a razão geométrica entre termos consecutivos é \frac{1}{3}.

Passo 2

O que é uma série geométrica infinita e quando ela converge.
  • Uma série geométrica infinita tem a forma \displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} a\,r^{n}, onde:
    • a é o primeiro termo da sequência (o termo quando n=0);
    • r é a razão comum (cada termo é obtido multiplicando o anterior por r).
  • Condição de convergência: a série \displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} a\,r^{n} converge se, e somente se, |r|<1. Nesse caso a soma é dada por
\sum_{n=0}^{\infty} a\,r^{n}=\frac{a}{1-r}.
  • Breve derivação (método clássico com soma parcial): seja a soma parcial até N
S_{N}=\sum_{n=0}^{N} a\,r^{n}=a+a r+\cdots+a r^{N}.
Multiplicando por r e subtraindo:
rS_{N}=a r + a r^{2}+\cdots + a r^{N+1},
S_{N}-rS_{N}=a - a r^{N+1}\quad\Rightarrow\quad S_{N}=\frac{a\bigl(1-r^{N+1}\bigr)}{1-r}.
Se |r|<1 então r^{N+1}\to 0 quando N\to\infty, e portanto
\sum_{n=0}^{\infty} a\,r^{n}=\lim_{N\to\infty}S_{N}=\frac{a}{1-r}.

Passo 3

Identificar a e r no nosso caso e verificar a condição de convergência.
  • No problema temos a=\left(\tfrac{1}{3}\right)^{0}=1.
  • A razão é r=\tfrac{1}{3}.
  • Como |r|=\left|\tfrac{1}{3}\right|=\tfrac{1}{3}<1, a série converge e podemos usar a fórmula \dfrac{a}{1-r}.

Passo 4

Calcular a soma substituindo na fórmula.
  • Substituindo a=1 e r=\tfrac{1}{3} obtemos
\sum_{n=0}^{\infty}\left(\frac{1}{3}\right)^{n}=\frac{1}{1-\tfrac{1}{3}}.
  • Calcule o denominador:
1-\tfrac{1}{3}=\tfrac{2}{3}.
  • Portanto
\frac{1}{1-\tfrac{1}{3}}=\frac{1}{\tfrac{2}{3}}=\frac{3}{2}.

Passo 5

Verificação numérica rápida (intuição):
  • Algumas somas parciais:
    • S_{0}=1.
    • S_{1}=1+\tfrac{1}{3}=\tfrac{4}{3}\approx1{,}333\ldots.
    • S_{2}=1+\tfrac{1}{3}+\tfrac{1}{9}=\tfrac{13}{9}\approx1{,}444\ldots.
    • S_{3}=1+\tfrac{1}{3}+\tfrac{1}{9}+\tfrac{1}{27}\approx1{,}48148\ldots.
  • Esses valores mostram claramente que a soma parcial se aproxima de 1{,}5, consistente com \tfrac{3}{2}. Força — você já ganhou a intuição!

Resposta

\dfrac{3}{2}

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