Calcule a soma das seguintes séries geométricas:
Passo 1
O que o enunciado pede e quais informações temos:
- Pede calcular a soma da série infinita
. - Da própria escrita da série já temos duas informações importantes:
- o primeiro termo (quando
) é ; - a razão geométrica entre termos consecutivos é
.
- o primeiro termo (quando
Passo 2
O que é uma série geométrica infinita e quando ela converge.
- Uma série geométrica infinita tem a forma
, onde: -
é o primeiro termo da sequência (o termo quando ); -
é a razão comum (cada termo é obtido multiplicando o anterior por ).
-
- Condição de convergência: a série
converge se, e somente se, . Nesse caso a soma é dada por
- Breve derivação (método clássico com soma parcial): seja a soma parcial até
Multiplicando por
e subtraindo:
Se
então
quando
, e portanto
Passo 3
Identificar
e
no nosso caso e verificar a condição de convergência.
- No problema temos
. - A razão é
. - Como
, a série converge e podemos usar a fórmula .
Passo 4
Calcular a soma substituindo na fórmula.
- Substituindo
e obtemos
- Calcule o denominador:
- Portanto
Passo 5
Verificação numérica rápida (intuição):
- Algumas somas parciais:
-
. -
. -
. -
.
-
- Esses valores mostram claramente que a soma parcial se aproxima de
, consistente com . Força — você já ganhou a intuição!