Determine se as séries geométricas abaixo convergem ou divergem:
\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}\left(\frac{1}{2}\right)^{n}

Passo 1

Vou deixar claro o que o enunciado pede e o que foi dado.
  • O enunciado fornece a série
\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}\left(\frac{1}{2}\right)^{n}.
  • A pergunta é: essa série converge ou diverge? (Se converger, é útil saber também para que valor converge — a soma.)

Passo 2

Identificar o tipo de série e os dados essenciais.
  • Observe que cada termo é da forma (-1)^n(1/2)^n. Podemos agrupar as potências iguais:
(-1)^n\left(\frac{1}{2}\right)^n=\left(-\frac{1}{2}\right)^n.
  • Portanto a série é uma série geométrica padrão com primeiro termo (quando n=0) igual a
a=\left(-\frac{1}{2}\right)^0=1,
e razão
r=-\frac{1}{2}.

Passo 3

Relembrar a regra de convergência para séries geométricas e a fórmula da soma parcial.
  • Uma série geométrica com termos a r^n (a partir de n=0) converge se, e somente se, |r|<1. Se |r|\ge 1 a série diverge.
  • A soma parcial dos primeiros N+1 termos é, para r\neq 1,
S_N=\sum_{n=0}^{N} a r^n = a\frac{1-r^{\,N+1}}{1-r}.
Explicando rapidamente por que: multiplica-se S_N por r e subtrai-se, obtendo (1-r)S_N=a-a r^{\,N+1}, daí a fórmula acima.
  • Se |r|<1, então \lim_{N\to\infty} r^{\,N+1}=0. Assim, a soma infinita (limite das somas parciais) é
S=\lim_{N\to\infty}S_N=\frac{a}{1-r}.

Passo 4

Aplicar os critérios ao nosso caso concreto.
  • Encontramos em

Passo 5

|r|=\left|-\frac{1}{2}\right|=\frac{1}{2}<1.
  • Como |r|<1, a série converge (pelo critério da série geométrica).

Passo 6

Calcular a soma (valor para o qual a série converge).
  • Usando a fórmula da soma para a série geométrica com a=1 e r=-\dfrac{1}{2},
S=\frac{a}{1-r}=\frac{1}{1-\left(-\dfrac{1}{2}\right)}=\frac{1}{1+\dfrac{1}{2}}=\frac{1}{\dfrac{3}{2}}.

Passo 7

Avaliação final do valor e comentário sobre convergência absoluta (opcional, mas útil).
  • Simplificando a fração obtida em

Passo 8

  • Além disso, podemos verificar a convergência absoluta: os valores absolutos dos termos são \left|\left(-\dfrac{1}{2}\right)^n\right|=\left(\dfrac{1}{2}\right)^n. A série \sum_{n=0}^{\infty}\left(\dfrac{1}{2}\right)^n é geométrica com razão \dfrac{1}{2} e converge (soma 2); portanto a série original converge absolutamente, o que garante a convergência.

Resposta

Converge; soma \dfrac{2}{3}

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