Calcule a soma das seguintes séries geométricas:
\sum_{n=0}^{\infty} 2\left(\frac{1}{4}\right)^{n}

Passo 1

O enunciado pede calcular a soma da série infinita
\sum_{n=0}^{\infty} 2\left(\frac{1}{4}\right)^{n}.
Informações dadas:
  • O somatório começa em n=0 e vai até infinito.
  • Cada termo tem a forma 2\left(\dfrac{1}{4}\right)^{n}.
  • A pergunta é: qual é o valor numérico da soma dessa série (se ela convergir)?

Passo 2

Vamos identificar os dados essenciais da série (isto é só listar números e parâmetros, sem resolver ainda).
  • Primeiro termo (quando n=0): a = 2\left(\dfrac{1}{4}\right)^{0} = 2.
  • Razão (multiplicador entre termos sucessivos): r = \dfrac{1}{4}.
    Antes de usar qualquer fórmula, precisamos verificar se a soma infinita faz sentido: para uma série geométrica infinita convergir é necessário que |r|<1. Aqui
|r|=\left|\dfrac{1}{4}\right|=\dfrac{1}{4}<1,
logo a série converge e tem soma finita.

Passo 3

Fórmula e derivação da soma de uma série geométrica infinita (aula rápida):
Considere a soma parcial com N (soma dos primeiros N+1 termos):
S_N = a + ar + ar^2 + \cdots + ar^{N}.
Multiplicando por r,
rS_N = ar + ar^2 + \cdots + ar^{N} + ar^{N+1}.
Subtraindo essas duas expressões ( S_N - rS_N ) elimina quase todos os termos e dá
S_N - rS_N = a - ar^{N+1}.
Fatorando o lado esquerdo,
S_N(1-r) = a(1-r^{N+1}).
Portanto a soma parcial é
S_N = \dfrac{a\bigl(1-r^{N+1}\bigr)}{1-r},
válida sempre que r\neq 1.

Passo 4

Agora passamos ao limite quando N\to\infty. Se |r|<1 então r^{N+1}\to 0 quando N\to\infty. Assim a soma da série infinita é
S = \lim_{N\to\infty} S_N = \lim_{N\to\infty} \dfrac{a\bigl(1-r^{N+1}\bigr)}{1-r} = \dfrac{a}{1-r}.
Esta é a fórmula padrão: a soma de uma série geométrica infinita com a e r (e |r|<1) é \dfrac{a}{1-r}.

Passo 5

Aplicando a fórmula ao nosso caso: a=2 e r=\dfrac{1}{4}. Então
S = \dfrac{2}{1-\tfrac{1}{4}}.
Calcule o denominador:
1-\tfrac{1}{4}=\tfrac{3}{4}.
Portanto
S = \dfrac{2}{\tfrac{3}{4}} = 2\cdot\dfrac{4}{3} = \dfrac{8}{3}.

Resposta

\dfrac{8}{3}

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