Determine as séries de Maclaurin das funções abaixo:
f(z)=\cos z

Passo 1

O enunciado pede a série de Maclaurin da função \cos z. O conteúdo aqui é a expansão em série de Taylor em torno de z=0, usando a fórmula geral de Maclaurin e o comportamento periódico das derivadas de \cos z.

Passo 2

A fórmula da série de Maclaurin de uma função f é
f(z) \;=\; \sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(0)}{n!}\,z^n.

Passo 3

Vamos calcular as derivadas de \cos z e avaliá-las em z=0:
\begin{aligned} f(z) &= \cos z, &f(0)&=1,\\\ f'(z) &= -\sin z, &f'(0)&=0,\\\ f''(z) &= -\cos z, &f''(0)&=-1,\\\ f'''(z)&= \sin z, &f'''(0)&=0,\\\ f^{(4)}(z)&=\cos z, &f^{(4)}(0)&=1, \end{aligned}
e assim por diante, com período 4 nas derivadas.

Passo 4

Observamos que apenas as derivadas de ordem par são não nulas em 0. De fato,
f^{(2n)}(0)=(-1)^n, \quad f^{(2n+1)}(0)=0.
Substituindo na fórmula de Maclaurin, só aparecem termos em z^{2n}.

Passo 5

A série de Maclaurin de \cos z fica
\cos z \;=\; \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{(2n)!}\,z^{2n}.

Resposta

\cos z = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{(2n)!}\,z^{2n}.

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