Determine as séries de Maclaurin das funções abaixo:
Passo 1
O enunciado pede a série de Maclaurin de
. Para obter essa série, vamos usar o fato de que toda função analítica em
admite
onde
são as derivadas de ordem
avaliadas em
.
Passo 2
Calculamos as primeiras derivadas de
e seus valores em
:
implica
,
implica
,
implica
,
implica
,
implica
,
e assim por diante, em ciclos de período 4.
,
e assim por diante, em ciclos de período 4.
Passo 3
Substituindo em
vemos que só aparecem termos de ordem ímpar, pois as derivadas de ordem par valem zero em
. Os primeiros termos são
Passo 4
Para expressar o termo geral, note que o sinal alterna e o expoente é
. Assim