Determine as séries de Maclaurin das funções abaixo:
f(z)=\operatorname{sen} z

Passo 1

O enunciado pede a série de Maclaurin de f(z)=\operatorname{sen} z. Para obter essa série, vamos usar o fato de que toda função analítica em z=0 admite
f(z)=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{f^{(k)}(0)}{k!}\,z^{k},
onde f^{(k)}(0) são as derivadas de ordem k avaliadas em 0.

Passo 2

Calculamos as primeiras derivadas de f e seus valores em 0:
\displaystyle f(z)=\operatorname{sen} z implica
\displaystyle f(0)=\sen0=0,
\displaystyle f'(z)=\cos z implica f'(0)=1,
\displaystyle f''(z)=-\operatorname{sen} z implica f''(0)=0,
\displaystyle f^{(3)}(z)=-\cos z implica f^{(3)}(0)=-1,
\displaystyle f^{(4)}(z)=\operatorname{sen} z implica f^{(4)}(0)=0,
e assim por diante, em ciclos de período 4.

Passo 3

Substituindo em
\operatorname{sen} z=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{f^{(k)}(0)}{k!}\,z^{k},
vemos que só aparecem termos de ordem ímpar, pois as derivadas de ordem par valem zero em 0. Os primeiros termos são
\operatorname{sen} z = \frac{f'(0)}{1!}z + \frac{f^{(3)}(0)}{3!}z^3 + \frac{f^{(5)}(0)}{5!}z^5 + \cdots = z - \frac{z^3}{3!} + \frac{z^5}{5!} - \cdots.

Passo 4

Para expressar o termo geral, note que o sinal alterna e o expoente é 2n+1. Assim
\operatorname{sen} z = \sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}\,\frac{z^{2n+1}}{(2n+1)!}.

Resposta

\boxed{\operatorname{sen} z = \sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}\,\frac{z^{2n+1}}{(2n+1)!}.}

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