Determine as séries de Maclaurin das funções abaixo:
f(z)=\frac{\operatorname{sen} z}{z}

Passo 1

O enunciado pede a série de Maclaurin (expansão em torno de z=0) da função
f(z)=\frac{\sin z}{z}.
O que vamos precisar é a série de Maclaurin de \sin z e então dividir termo a termo por z.

Passo 2

Lembramos que a série de Maclaurin de \sin z é
\sin z = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^{n}\,\frac{z^{2n+1}}{(2n+1)!}
ou seja, escrevendo os primeiros termos:
\sin z = z - \frac{z^{3}}{3!} + \frac{z^{5}}{5!} - \frac{z^{7}}{7!} + \cdots.

Passo 3

Para obter \sin z / z, basta dividir cada termo da série acima por z. Assim,
\frac{\sin z}{z} = \frac{1}{z}\sum_{n=0}^{\infty} (-1)^{n}\,\frac{z^{2n+1}}{(2n+1)!} = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^{n}\,\frac{z^{2n}}{(2n+1)!}.

Passo 4

Escrevendo explicitamente os primeiros termos dessa nova série, temos
\frac{\sin z}{z} = 1 - \frac{z^{2}}{3!} + \frac{z^{4}}{5!} - \frac{z^{6}}{7!} + \cdots.

Resposta

\boxed{\frac{\sin z}{z} = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^{n}\,\frac{z^{2n}}{(2n+1)!} = 1 - \frac{z^{2}}{3!} + \frac{z^{4}}{5!} - \frac{z^{6}}{7!} + \cdots.}

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