Determine as séries de Maclaurin das funções abaixo:
f(z)=e^{z^{2}}

Passo 1

O enunciado pede a série de Maclaurin de f(z)=e^{z^2}, ou seja, expandir f(z) em potências de z em torno de z=0. Vamos usar o fato de que já conhecemos a expansão de Maclaurin de e^{w} para um parâmetro genérico w.

Passo 2

A série de Maclaurin de e^{w} é
e^{w} \;=\; \sum_{n=0}^{\infty} \frac{w^{n}}{n!}\,.
Essa expansão converge para todo w\in\mathbb{C}.

Passo 3

Para obter a série de Maclaurin de e^{z^2}, fazemos a troca w=z^2 na série acima. Assim,
e^{z^2} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(z^2)^{n}}{n!} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{z^{2n}}{n!}\,.
Note que aparecem apenas potências pares de z e o raio de convergência continua sendo infinito.

Resposta

e^{z^2} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{z^{2n}}{n!}\,.

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