Determine as séries de Maclaurin das funções \operatorname{sen}(\mathrm{x}), \cos (\mathrm{x}) \mathrm{e} \exp (\mathrm{x}).

Passo 1

O enunciado pede para determinar as séries de Maclaurin de \operatorname{sen}(x), \cos(x) e \exp(x). O conteúdo é séries de Taylor centradas em zero (séries de Maclaurin) e vamos usar a fórmula geral que expressa cada função como soma de potências de x envolvendo suas derivadas em zero.

Passo 2

A série de Maclaurin de uma função f é dada por
f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{f^{(n)}(0)}{n!}\,x^{n}.
Ou seja, para cada função precisamos calcular f^{(n)}(0) e inserir na soma acima.

Passo 3

Para \operatorname{sen}(x) temos o ciclo de derivadas \operatorname{sen}(x), \cos(x), -\operatorname{sen}(x), -\cos(x), …
Avaliado em zero isso dá
\operatorname{sen}(0)=0,\quad \operatorname{sen}'(0)=1,\quad \operatorname{sen}''(0)=0,\quad \operatorname{sen}'''(0)=-1,\;\dots
Logo só aparecem termos ímpares e
\operatorname{sen}^{(2k+1)}(0)=(-1)^{k},\quad \operatorname{sen}^{(2k)}(0)=0.
Substituindo na fórmula de Maclaurin resulta
\operatorname{sen}(x) =\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^{k}}{(2k+1)!}\,x^{2k+1}.

Passo 4

Para \cos(x) o ciclo de derivadas é \cos(x), -\sin(x), -\cos(x), \sin(x), …
Em zero isso dá
\cos(0)=1,\quad \cos'(0)=0,\quad \cos''(0)=-1,\quad \cos'''(0)=0,\;\dots
Logo só aparecem termos pares e
\cos^{(2k)}(0)=(-1)^{k},\quad \cos^{(2k+1)}(0)=0.
Substituindo na fórmula de Maclaurin resulta
\cos(x) =\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^{k}}{(2k)!}\,x^{2k}.

Passo 5

Para \exp(x) todas as derivadas são \exp(x), então em zero temos
\exp^{(n)}(0)=1\quad\forall\,n\ge0.
Substituindo na fórmula de Maclaurin resulta
\exp(x) =\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n!}\,x^{n}.

Resposta

\displaystyle \operatorname{sen}(x)=\sum_{k=0}^{\infty}(-1)^{k}\,\frac{x^{2k+1}}{(2k+1)!} \displaystyle \cos(x)=\sum_{k=0}^{\infty}(-1)^{k}\,\frac{x^{2k}}{(2k)!} \displaystyle \exp(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^{n}}{n!}

Exercícios relacionados