Determine as séries de Maclaurin das funções
.
Passo 1
O enunciado pede para determinar as séries de Maclaurin de
,
e
. O conteúdo é séries de Taylor centradas em zero (séries de Maclaurin) e vamos usar a fórmula geral que expressa cada função como soma de potências de
envolvendo suas derivadas em zero.
Passo 2
A série de Maclaurin de uma função
é dada por
Ou seja, para cada função precisamos calcular
e inserir na soma acima.
Passo 3
Para
temos o ciclo de derivadas
,
,
,
, …
Avaliado em zero isso dá
Avaliado em zero isso dá
Logo só aparecem termos ímpares e
Substituindo na fórmula de Maclaurin resulta
Passo 4
Para
o ciclo de derivadas é
,
,
,
, …
Em zero isso dá
Em zero isso dá
Logo só aparecem termos pares e
Substituindo na fórmula de Maclaurin resulta
Passo 5
Para
todas as derivadas são
, então em zero temos
Substituindo na fórmula de Maclaurin resulta