QUESTÃO 1: Encontre, se existir, valores de m e k, de tal maneira que a função se torne continua em todos os pontos.
f(x)=\left\{\begin{array}{cc} 2 k+3 x & x<-1 \\\ m(x+1)+k, & -1 \leq x \leq 2 \\\ x^{2}+5 & x>2 \end{array}\right.

Passo 1

Temos a função por partes
f(x)=\begin{cases} 2k+3x, & x<-1,\\\ m(x+1)+k, & -1\le x\le 2,\\\ x^2+5, & x>2. \end{cases}
Para que f seja contínua em todo ponto, não pode haver “salto” em x=-1 nem em x=2. Vamos usar a condição de continuidade em funções piecewise: os limites laterais devem coincidir com o valor da função no ponto.

Passo 2

Continuidade em x=-1: \displaystyle \lim_{x\to -1^-}f(x)=2k+3(-1)=2k-3.
O valor de f em -1 vem da segunda parte: \displaystyle f(-1)=m\,( -1+1)+k=0\cdot m+k=k.
Igualando para evitar salto:
2k-3 = k
\Rightarrow k=3.

Passo 3

Continuidade em x=2: \displaystyle \lim_{x\to 2^-}f(x)=m(2+1)+k=3m+k.
Do lado direito: \displaystyle \lim_{x\to 2^+}f(x)=2^2+5=9.
Para não ter descontinuidade, igualamos
3m + k = 9.
Substituindo k=3:
3m+3=9
\Rightarrow 3m=6
\Rightarrow m=2.

Resposta

Os valores que garantem continuidade são m=2 e k=3.

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