Para que f seja contínua em todo ponto, não pode haver “salto” em x=-1 nem em x=2. Vamos usar a condição de continuidade em funções piecewise: os limites laterais devem coincidir com o valor da função no ponto.
Passo 2
Continuidade em x=-1: \displaystyle \lim_{x\to -1^-}f(x)=2k+3(-1)=2k-3.
O valor de f em -1 vem da segunda parte: \displaystyle f(-1)=m\,( -1+1)+k=0\cdot m+k=k.
Igualando para evitar salto:
2k-3 = k
\Rightarrow k=3.
Passo 3
Continuidade em x=2: \displaystyle \lim_{x\to 2^-}f(x)=m(2+1)+k=3m+k.
Do lado direito: \displaystyle \lim_{x\to 2^+}f(x)=2^2+5=9.
Para não ter descontinuidade, igualamos
3m + k = 9.
Substituindo k=3:
3m+3=9
\Rightarrow 3m=6
\Rightarrow m=2.
Resposta
Os valores que garantem continuidade são m=2 e k=3.