Quantos anagramas de “ESTATÍSTICA” não têm duas letras I juntas?

Passo 1

O enunciado pede para contar quantos anagramas da palavra “ESTATÍSTICA” não apresentam as duas letras I juntas. Aqui o que precisamos é usar permutações de multiconjunto e a técnica de “bloco” para excluir arranjos com I I consecutivas.

Passo 2

Primeiro, vamos contar todos os anagramas sem restrição. A palavra tem 11 caracteres com repetição: T aparece 3 vezes, S aparece 2 vezes, A aparece 2 vezes, I aparece 2 vezes, e E e C aparecem 1 vez cada. Assim, o total de anagramas é
\frac{11!}{3!\,2!\,2!\,2!}
Calculando,
11! = 39\,916\,800 \quad\text{e}\quad 3!\,2!\,2!\,2! = 6\cdot2\cdot2\cdot2 = 48,
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\frac{11!}{3!\,2!\,2!\,2!} = \frac{39\,916\,800}{48} = 831\,600.

Passo 3

Em seguida, contamos quantos desses anagramas têm as duas letras I juntas. Para isso, tratamos o par II como um bloco único. Assim passamos a ter 10 “símbolos”: o bloco II mais T \times 3, S \times 2, A \times 2, E \times 1, C \times 1. O número de permutações desse multiconjunto é
\frac{10!}{3!\,2!\,2!}
pois agora só repetem T (3 vezes), S (2 vezes) e A (2 vezes). Calculando,
10! = 3\,628\,800 \quad\text{e}\quad 3!\,2!\,2! = 6\cdot2\cdot2 = 24,
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\frac{10!}{3!\,2!\,2!} = \frac{3\,628\,800}{24} = 151\,200.

Passo 4

Para obter a quantidade de anagramas em que as duas I não aparecem juntas, subtraímos do total (Passo 2) aqueles com II consecutivo (Passo 3):
831\,600 - 151\,200 = 680\,400.

Resposta

680\,400

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