( 0,5 pontos) Em um circuito RC (resistor e capacitor em séric), a variaçio da carga Q(t) no capacitor a longo do tempo é descrita pela EDO R d elld t+ellc=E(t), onde Re C São constantes E(tau) forga cetromotriz aplicada. Suponha E(t)=varepsilon0( constanlc ).
a) Classifique a EDO quanto à linearidade.

Passo 1

Então, estamos lidando com um circuito RC, que é basicamente um resistor e um capacitor conectados em série. A questão nos dá uma equação diferencial que descreve como a carga no capacitor varia ao longo do tempo. Nosso objetivo aqui é classificar essa equação diferencial quanto à linearidade. Para isso, vamos precisar entender o que torna uma equação diferencial linear.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação dada para facilitar a análise:
R dQdt + QC = E(t)
Onde:
  • é a resistência,
  • é a capacitância,
  • é a força eletromotriz aplicada, que neste caso é constante ( ).

Passo 3

Agora, vamos lembrar o que significa uma equação diferencial ser linear. Uma equação diferencial é dita linear se ela pode ser expressa na forma:
an(t) d^n ydt^n + an-1(t) d^n-1 ydt^n-1 + dots + a1(t) dydt + a0(t) y = g(t)
Aqui, é a função incógnita, e os coeficientes podem depender de mas não de ou suas derivadas.

Passo 4

Comparando com a nossa equação:
R dQdt + QC = varepsilon0
Vemos que:
  • O coeficiente de é , que é constante.
  • O coeficiente de é , também constante.
  • O termo do lado direito, , é uma função constante.
Não há termos onde ou suas derivadas sejam multiplicados por funções de ou , por exemplo.

Passo 5

Portanto, a equação está na forma de uma equação diferencial linear de primeira ordem, já que a maior derivada é a primeira e os coeficientes não dependem de ou suas derivadas.

Resposta

A equação diferencial é linear de primeira ordem.

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