Marque dentre as alternativas abaixo, uma fórmula para a Soma de Riemaun, denotada por
, da funçio
ao longo do intervalo
, obtida dividindo-se o intervalo em
subintervalos iguais e os pontos amostrais em cada subintervalo sâo os extremos a direita.
(A)
(B)
©
(-)
(E)
(A)
(B)
©
(-)
(E)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um exercício sobre Soma de Riemann, que é uma ferramenta usada em cálculo para aproximar áreas sob curvas. A função que vamos analisar é $ f(x) = x^{2} $ no intervalo de $ [0,1] $. Para resolver isso, vamos dividir o intervalo em $ n $ partes iguais e usar os pontos à direita de cada subintervalo para calcular a soma. Precisamos identificar qual das alternativas dadas representa corretamente essa soma de Riemann.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma Soma de Riemann. Imagine que você quer calcular a área sob a curva de $ f(x) = x^{2} $ entre 0 e 1. Uma maneira de fazer isso é dividir esse intervalo em $ n $ subintervalos iguais. Cada subintervalo terá uma largura de $ \Delta x = \frac{1 - 0}{n} = \frac{1}{n} $.
Passo 3
Agora, para cada subintervalo, escolhemos um ponto amostral para calcular a altura do retângulo que vai aproximar a área. Neste caso, estamos usando os extremos à direita. Isso significa que, para o $ i $-ésimo subintervalo, o ponto amostral será $ x_i = \frac{i}{n} $, onde $ i $ vai de 1 até $ n $.
Passo 4
A altura de cada retângulo será dada pelo valor da função no ponto amostral, ou seja, $ f(x_i) = \left(\frac{i}{n}\right)^{2} $. A área de cada retângulo será, então, $ f(x_i) \times \Delta x = \left(\frac{i}{n}\right)^{2} \times \frac{1}{n} $.
Passo 5
Para encontrar a soma total das áreas dos retângulos, somamos todas essas áreas individuais de $ i = 1 $ até $ i = n $. Isso resulta na Soma de Riemann:
Resposta
A alternativa correta é:
(E) $ S_{n} = \sum_{i=1}{n}\left(\frac{i}{n}\right){2} $