Determine se as séries são convergentes ou divergentes. Se forem convergentes, calcule sua soma.
\sum_{n=1}^{+\infty} \ln \left(\frac{n^{2}+1}{2 n^{2}+1}\right)

Passo 1

O enunciado pede para determinar a convergência da série
\sum_{n=1}^{+\infty} \ln\!\biggl(\frac{n^{2}+1}{2\,n^{2}+1}\biggr).
O conteúdo principal aqui é teste da divergência (ou “teste do termo geral”): se o termo geral não tende a zero, a série diverge.

Passo 2

Calculamos o limite do termo geral
a_n = \ln\!\biggl(\frac{n^{2}+1}{2\,n^{2}+1}\biggr)
quando n\to\infty. Note que
\frac{n^{2}+1}{2\,n^{2}+1} = \frac{n^{2}\bigl(1+\tfrac1{n^{2}}\bigr)}{n^{2}\bigl(2+\tfrac1{n^{2}}\bigr)} = \frac{1+\tfrac1{n^{2}}}{2+\tfrac1{n^{2}}},
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\lim_{n\to\infty}\frac{n^{2}+1}{2\,n^{2}+1} = \frac{1+0}{2+0} = \tfrac12.
Aplicando o logaritmo,
\lim_{n\to\infty}a_n = \ln\!\bigl(\tfrac12\bigr) = -\ln2 \neq 0.

Passo 3

Como o termo geral a_n não tende a zero (tende a -\ln2), pelo teste da divergência a série
\sum_{n=1}^{+\infty}a_n
não pode convergir.

Resposta

A série diverge.

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