Portanto a série pode ser escrita como uma série geométrica da forma
\sum_{n=0}^{\infty} a r^{n}
com a=1 (termo inicial, correspondente a n=0) e r=\dfrac{-1}{e} (razão comum).
Passo 3
Lembrete rápido sobre séries geométricas (mini-aula): uma série geométrica \sum_{n=0}^{\infty} a r^{n} converge se, e somente se, |r|<1. Nesse caso a soma é
S=\frac{a}{1-r}.
Se |r|\ge 1 a série diverge porque os termos não vão a zero suficientemente rápido (ou sequer tendem a zero).
Passo 4
Aplicando o critério ao nosso caso: a razão é r=\dfrac{-1}{e}, então
|r|=\left|\frac{-1}{e}\right|=\frac{1}{e}.
Como e>1, tem-se \dfrac{1}{e}<1. Logo |r|<1 e a série geométrica converge.
Passo 5
Calcular a soma explícita (útil na prova): como a=1 e r=-\dfrac{1}{e},
S=\frac{1}{1-(-1/e)}=\frac{1}{1+\tfrac{1}{e}}.
Para simplificar, multiplica-se numerador e denominador por e:
S=\frac{e}{e+1}.
Passo 6
Observação sobre convergência absoluta (mais segurança): considerar a série dos módulos
que é também uma série geométrica com razão 1/e<1; portanto essa série converge. Como a série dos módulos converge, a série original converge absolutamente — o que é uma forma mais forte de convergência.