Determine se as séries a seguir convergem ou divergem.
b) (1 ponto ) \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{e^{n}}.

Passo 1

O enunciado pede para determinar se a série
\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^{n}}{e^{n}}
converge ou diverge. Informações dadas:
  • A soma é indexada por n=0,1,2,\dots.
  • Cada termo é \dfrac{(-1)^{n}}{e^{n}}.
  • e é a constante de Euler (aproximadamente 2,718\ldots), logo e>1.

Passo 2

Vou tentar reconhecer o tipo de série. Note que
\frac{(-1)^{n}}{e^{n}}=\left(\frac{-1}{e}\right)^{n}.
Portanto a série pode ser escrita como uma série geométrica da forma
\sum_{n=0}^{\infty} a r^{n}
com a=1 (termo inicial, correspondente a n=0) e r=\dfrac{-1}{e} (razão comum).

Passo 3

Lembrete rápido sobre séries geométricas (mini-aula): uma série geométrica \sum_{n=0}^{\infty} a r^{n} converge se, e somente se, |r|<1. Nesse caso a soma é
S=\frac{a}{1-r}.
Se |r|\ge 1 a série diverge porque os termos não vão a zero suficientemente rápido (ou sequer tendem a zero).

Passo 4

Aplicando o critério ao nosso caso: a razão é r=\dfrac{-1}{e}, então
|r|=\left|\frac{-1}{e}\right|=\frac{1}{e}.
Como e>1, tem-se \dfrac{1}{e}<1. Logo |r|<1 e a série geométrica converge.

Passo 5

Calcular a soma explícita (útil na prova): como a=1 e r=-\dfrac{1}{e},
S=\frac{1}{1-(-1/e)}=\frac{1}{1+\tfrac{1}{e}}.
Para simplificar, multiplica-se numerador e denominador por e:
S=\frac{e}{e+1}.

Passo 6

Observação sobre convergência absoluta (mais segurança): considerar a série dos módulos
\sum_{n=0}^{\infty}\left|\frac{(-1)^{n}}{e^{n}}\right|=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{e^{n}},
que é também uma série geométrica com razão 1/e<1; portanto essa série converge. Como a série dos módulos converge, a série original converge absolutamente — o que é uma forma mais forte de convergência.

Resposta

Converge (convergência absoluta).
Soma: \dfrac{e}{e+1}

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