Questão 4. (1 ponto) Determine o intervalo de convergência da série de potências \sum_{n=0}^{\infty} \frac{4^{n} x^{2 n}}{n!}.

Passo 1

O enunciado dá a série de potências
\sum_{n=0}^{\infty} \frac{4^{n} x^{2 n}}{n!}.
A pergunta é: determinar o intervalo de convergência dessa série (ou seja, para quais valores reais de x a série converge).
Informações relevantes do enunciado:
  • O termo geral da série é \dfrac{4^{n} x^{2n}}{n!}.
  • A série está indexada por n=0,1,2,\dots.
  • Precisamos encontrar todos os x\in\mathbb{R} para os quais a série converge.

Passo 2

Escolha do método e conceito necessário (explicado devagarinho).
  • Vou usar o teste da razão (ratio test), que é muito prático quando aparecem fatoriais como n!. O teste da razão diz o seguinte: para uma série com termos a_n, calcule o limite
L=\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|.
Se L<1 a série converge absolutamente; se L>1 diverge; se L=1 o teste é inconclusivo. “Converge absolutamente” significa que a série dos módulos \sum |a_n| converge, o que é uma forma forte de convergência e garante a convergência da série original.
  • Aqui o termo geral é a_n=\dfrac{4^{n} x^{2n}}{n!}. Aplicar o teste da razão é direto e nos dará uma condição em x.

Passo 3

Aplicando o teste da razão passo a passo (sem pular etapas).
  • Escrevo a_n e a_{n+1}:
a_n=\frac{4^{n} x^{2n}}{n!},\qquad a_{n+1}=\frac{4^{n+1} x^{2(n+1)}}{(n+1)!}.
  • Calculo a razão em módulo (todos os termos aqui são não negativos se x real, mas uso o módulo por rigor):
\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right| = \frac{4^{n+1} x^{2(n+1)}/(n+1)!}{4^{n} x^{2n}/n!}.
  • Simplifico fator a fator (mostrando cada cancelamento):
\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right| = \frac{4^{n+1}}{4^n}\cdot\frac{x^{2(n+1)}}{x^{2n}}\cdot\frac{n!}{(n+1)!}.
Agora cada fração simplifica:
\frac{4^{n+1}}{4^n}=4,\qquad \frac{x^{2(n+1)}}{x^{2n}}=x^2,\qquad \frac{n!}{(n+1)!}=\frac{1}{n+1}.
Portanto
\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\frac{4x^{2}}{n+1}.

Passo 4

Avaliação do limite e conclusão do teste da razão.
  • Agora tomo o limite quando n\to\infty:
L=\lim_{n\to\infty}\frac{4x^{2}}{n+1}=0,
pois o denominador n+1 cresce sem limite e o numerador 4x^2 é fixo para cada x fixo.
  • Como L=0<1 para todo x\in\mathbb{R}, pelo teste da razão a série converge absolutamente para todo x\in\mathbb{R}.
  • Em termos de raio de convergência, isso significa que o raio é infinito e o intervalo de convergência é toda a reta real.

Passo 5

Perspectiva alternativa (intuição extra, útil na prova).
  • Observe que a série pode ser reescrita usando y=x^2:
\sum_{n=0}^{\infty}\frac{4^{n} x^{2n}}{n!} = \sum_{n=0}^{\infty}\frac{(4y)^{n}}{n!}\quad\text{com }y=x^2.
  • A série \sum_{n=0}^{\infty}\dfrac{t^{n}}{n!} é a expansão da função exponencial e^{t}, e sabe-se que ela converge para todo t\in\mathbb{R}. Assim, substituindo t=4y=4x^2, a série converge para e^{4x^2} para todo x\in\mathbb{R}. Isso reforça a conclusão do teste da razão.
  • Exemplo simples para fixar: a série de e^t é \sum_{n=0}^\infty t^n/n!. Aplicando o teste da razão aí dá \lim |t|/(n+1)=0, logo converge para todo t. Mesmo raciocínio foi usado acima.

Passo 6

Conclusão final e ânimo.
  • A série converge absolutamente para qualquer valor real de x. Isso quer dizer que, na prova, basta aplicar o teste da razão e apontar que o limite é 0, portanto converge para toda a reta real. Boa notícia: é uma das séries mais simpáticas — na verdade é uma forma da série exponencial — então não precisa ficar calculando limites complicados na prova. Força aí, você já tem a resposta e o raciocínio curto para justificar!

Resposta

(-\infty,\infty)

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