Questão 4. (1 ponto) Determine o intervalo de convergência da série de potências \sum_{n=0}^{\infty} \frac{4^{n} x^{2 n}}{n!}.
Passo 1
O enunciado dá a série de potências
\sum_{n=0}^{\infty} \frac{4^{n} x^{2 n}}{n!}.
A pergunta é: determinar o intervalo de convergência dessa série (ou seja, para quais valores reais de x a série converge).
Informações relevantes do enunciado:
O termo geral da série é \dfrac{4^{n} x^{2n}}{n!}.
A série está indexada por n=0,1,2,\dots.
Precisamos encontrar todos os x\in\mathbb{R} para os quais a série converge.
Passo 2
Escolha do método e conceito necessário (explicado devagarinho).
Vou usar o teste da razão (ratio test), que é muito prático quando aparecem fatoriais como n!. O teste da razão diz o seguinte: para uma série com termos a_n, calcule o limite
Se L<1 a série converge absolutamente; se L>1 diverge; se L=1 o teste é inconclusivo. “Converge absolutamente” significa que a série dos módulos \sum |a_n| converge, o que é uma forma forte de convergência e garante a convergência da série original.
Aqui o termo geral é a_n=\dfrac{4^{n} x^{2n}}{n!}. Aplicar o teste da razão é direto e nos dará uma condição em x.
Passo 3
Aplicando o teste da razão passo a passo (sem pular etapas).
A série \sum_{n=0}^{\infty}\dfrac{t^{n}}{n!} é a expansão da função exponencial e^{t}, e sabe-se que ela converge para todo t\in\mathbb{R}. Assim, substituindo t=4y=4x^2, a série converge para e^{4x^2} para todo x\in\mathbb{R}. Isso reforça a conclusão do teste da razão.
Exemplo simples para fixar: a série de e^t é \sum_{n=0}^\infty t^n/n!. Aplicando o teste da razão aí dá \lim |t|/(n+1)=0, logo converge para todo t. Mesmo raciocínio foi usado acima.
Passo 6
Conclusão final e ânimo.
A série converge absolutamente para qualquer valor real de x. Isso quer dizer que, na prova, basta aplicar o teste da razão e apontar que o limite é 0, portanto converge para toda a reta real. Boa notícia: é uma das séries mais simpáticas — na verdade é uma forma da série exponencial — então não precisa ficar calculando limites complicados na prova. Força aí, você já tem a resposta e o raciocínio curto para justificar!