Determine se as séries a seguir convergem ou divergem.
c) (1.5 ponto ) \sum_{n=3}^{\infty} \frac{\sqrt{n}}{\ln (n)}.

Passo 1

O enunciado pede para determinar se a série
\sum_{n=3}^{\infty} \frac{\sqrt{n}}{\ln(n)}
converge ou diverge. Informações dadas:
  • A soma começa em n=3.
  • O termo geral é a_n=\dfrac{\sqrt{n}}{\ln(n)}, onde \sqrt{n}=n^{1/2} e \ln(n) é o logaritmo natural de n.
    O objetivo é decidir convergência (a soma dos a_n aproxima-se de um número finito) ou divergência (a soma não tem limite finito).

Passo 2

Lembrete teórico crucial (teste necessário para convergência):
Se a série \sum_{n=1}^{\infty} a_n converge então o termo geral satisfaz
\lim_{n\to\infty} a_n = 0.
Explicação curta e intuitiva: se a soma das parcelas tem um valor finito, as parcelas individuais precisam ficar cada vez menores e tender a zero; caso contrário, somando infinitas parcelas que não vão a zero não há como obter um valor finito. Portanto, uma maneira simples de provar divergência é mostrar que \lim_{n\to\infty} a_n\neq 0.

Passo 3

Aplicar o teste necessário ao nosso termo a_n=\dfrac{\sqrt{n}}{\ln(n)}. Vamos estudar o limite
\lim_{n\to\infty} \frac{\sqrt{n}}{\ln(n)}.
Para analisar esse limite é conveniente usar uma função contínua que coincide com os termos para n inteiro: considere f(x)=\dfrac{\sqrt{x}}{\ln(x)} para x>1. Então estudamos
\lim_{x\to\infty} \frac{\sqrt{x}}{\ln(x)}.
Esse é um caso de forma \infty/\infty, portanto podemos aplicar a Regra de L’Hôpital (condição: numerador e denominador tendem a \infty e são diferenciáveis para x grande). Calculando derivadas:
  • derivada do numerador \sqrt{x}=x^{1/2} é \dfrac{1}{2}x^{-1/2}=\dfrac{1}{2\sqrt{x}};
  • derivada do denominador \ln(x) é \dfrac{1}{x}.
    Pela Regra de L’Hôpital,
\lim_{x\to\infty} \frac{\sqrt{x}}{\ln(x)} = \lim_{x\to\infty} \frac{\dfrac{1}{2\sqrt{x}}}{\dfrac{1}{x}} = \lim_{x\to\infty} \frac{1}{2\sqrt{x}}\cdot x = \lim_{x\to\infty} \frac{\sqrt{x}}{2}.
E claramente
\lim_{x\to\infty} \frac{\sqrt{x}}{2} = +\infty.
Portanto
\lim_{n\to\infty} \frac{\sqrt{n}}{\ln(n)} = +\infty.

Passo 4

Conclusão a partir do passo anterior: o termo geral a_n=\dfrac{\sqrt{n}}{\ln(n)} não só não tende a zero, como tende a +\infty. Assim a condição necessária para convergência falha. Logo a série
\sum_{n=3}^{\infty} \frac{\sqrt{n}}{\ln(n)}
diverge. Intuição amistosa: as parcelas crescem sem bound porque a raiz cresce muito mais rápido que o logaritmo; somar termos que crescem (ou sequer não decaem a zero) não pode dar um somatório finito.

Resposta

A série diverge.

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