Determine se as séries a seguir convergem ou divergem.
c)
ponto
.
c)
Passo 1
O enunciado pede para determinar se a série
converge ou diverge. Informações dadas:
- A soma começa em
. - O termo geral é
, onde e é o logaritmo natural de .
O objetivo é decidir convergência (a soma dosaproxima-se de um número finito) ou divergência (a soma não tem limite finito).
Passo 2
Lembrete teórico crucial (teste necessário para convergência):
Se a série converge então o termo geral satisfaz
Se a série
Explicação curta e intuitiva: se a soma das parcelas tem um valor finito, as parcelas individuais precisam ficar cada vez menores e tender a zero; caso contrário, somando infinitas parcelas que não vão a zero não há como obter um valor finito. Portanto, uma maneira simples de provar divergência é mostrar que
.
Passo 3
Aplicar o teste necessário ao nosso termo
. Vamos estudar o limite
Para analisar esse limite é conveniente usar uma função contínua que coincide com os termos para
inteiro: considere
para
. Então estudamos
Esse é um caso de forma
, portanto podemos aplicar a Regra de L’Hôpital (condição: numerador e denominador tendem a
e são diferenciáveis para
grande). Calculando derivadas:
- derivada do numerador
é ; - derivada do denominador
é .
Pela Regra de L’Hôpital,
E claramente
Portanto
Passo 4
Conclusão a partir do passo anterior: o termo geral
não só não tende a zero, como tende a
. Assim a condição necessária para convergência falha. Logo a série
diverge. Intuição amistosa: as parcelas crescem sem bound porque a raiz cresce muito mais rápido que o logaritmo; somar termos que crescem (ou sequer não decaem a zero) não pode dar um somatório finito.
Resposta
A série diverge.