Questão 5. Obtenha a representação em série de potências em torno de x=0 das funções a seguir. No item a), determine ainda o raio de convergência da série.
b) ( 1.5 ponto) g(x)=x^{2} \cos (2 x).

Passo 1

O enunciado dá a função g(x)=x^{2}\cos(2x) e pede a representação em série de potências em torno de x=0 (série de Maclaurin).
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • A função é g(x)=x^{2}\cos(2x).
  • A expansão pedida deve ser centrada em x=0.
  • Não há outros dados numéricos; a ideia é obter a série usando a série conhecida de \cos.

Passo 2

Lembrete útil: a série de Maclaurin (série de Taylor em torno de 0) de uma função f é obtida por
f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^{n},
onde f^{(n)}(0) é a n-ésima derivada de f avaliada em 0. Para funções trigonométricas básicas já conhecidas, economizamos trabalho usando séries padrão. Em particular, a série de Maclaurin de \cos x é
\cos x=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}\frac{x^{2n}}{(2n)!}.
Explicando cada parte dessa fórmula:
  • n é o índice da soma, variando por todos os inteiros não-negativos.
  • O fator (-1)^{n} alterna o sinal dos termos.
  • O expoente 2n aparece porque todas as derivadas ímpares de \cos em 0 são 0, então só aparecem potências pares.
  • (2n)! é o fatorial que vem da fórmula de Taylor dividindo pela n! apropriada (aqui pela ordem 2n).

Passo 3

Substituímos x por 2x na série da \cos para obter \cos(2x). Fazendo a substituição:
\cos(2x)=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}\frac{(2x)^{2n}}{(2n)!}.
Simplificando a potência:
\cos(2x)=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}\frac{2^{2n}x^{2n}}{(2n)!}.
Aqui 2^{2n} vem de (2x)^{2n}=2^{2n}x^{2n}.

Passo 4

Agora multiplicamos \cos(2x) por x^{2} para obter g(x):
g(x)=x^{2}\cos(2x)=x^{2}\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}\frac{2^{2n}x^{2n}}{(2n)!}.
Agrupando as potências de x:
g(x)=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}\frac{2^{2n}}{(2n)!}x^{2n+2}.
Esta é a forma em série de potências centrada em 0. Aqui:
  • o termo geral é (-1)^{n}\dfrac{2^{2n}}{(2n)!}x^{2n+2};
  • quando n varia de 0 a \infty obtemos todos os termos da expansão.

Passo 5

Para fixar a intuição, calculamos os primeiros termos da série explicitamente (fazendo n=0,1,2,3):
  • Para n=0: (-1)^{0}\dfrac{2^{0}}{0!}x^{2}=x^{2}.
  • Para n=1: (-1)^{1}\dfrac{2^{2}}{2!}x^{4}=-\dfrac{4}{2}x^{4}=-2x^{4}.
  • Para n=2: (-1)^{2}\dfrac{2^{4}}{4!}x^{6}=\dfrac{16}{24}x^{6}=\dfrac{2}{3}x^{6}.
  • Para n=3: (-1)^{3}\dfrac{2^{6}}{6!}x^{8}=-\dfrac{64}{720}x^{8}=-\dfrac{2}{315}x^{8}.
Portanto, os primeiros termos são
g(x)=x^{2}-2x^{4}+\dfrac{2}{3}x^{6}-\dfrac{2}{315}x^{8}+\cdots,
o que bate com o termo geral já dado.

Passo 6

Comentário sobre convergência (útil para a prova): a série de \cos x tem raio de convergência infinito (porque \cos x é uma função inteira), e a substituição x\mapsto 2x não altera isso. Multiplicar por x^{2} (polinômio) também não altera o raio. Logo a série encontrada converge para todo x\in\mathbb{R} (raio de convergência R=\infty).

Resposta

g(x)=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}\frac{2^{2n}}{(2n)!}\,x^{2n+2}=x^{2}-2x^{4}+\frac{2}{3}x^{6}-\frac{2}{315}x^{8}+\cdots

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