Questão 5. Obtenha a representação em série de potências em torno de
das funções a seguir. No item a), determine ainda o raio de convergência da série.
b) ( 1.5 ponto)
.
b) ( 1.5 ponto)
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede a representação em série de potências em torno de
(série de Maclaurin).
Informações relevantes extraídas do enunciado:
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- A função é
. - A expansão pedida deve ser centrada em
. - Não há outros dados numéricos; a ideia é obter a série usando a série conhecida de
.
Passo 2
Lembrete útil: a série de Maclaurin (série de Taylor em torno de
) de uma função
é obtida por
onde
é a
-ésima derivada de
avaliada em
. Para funções trigonométricas básicas já conhecidas, economizamos trabalho usando séries padrão. Em particular, a série de Maclaurin de
é
Explicando cada parte dessa fórmula:
-
é o índice da soma, variando por todos os inteiros não-negativos. - O fator
alterna o sinal dos termos. - O expoente
aparece porque todas as derivadas ímpares de em são , então só aparecem potências pares. -
é o fatorial que vem da fórmula de Taylor dividindo pela apropriada (aqui pela ordem ).
Passo 3
Substituímos
por
na série da
para obter
. Fazendo a substituição:
Simplificando a potência:
Aqui
vem de
.
Passo 4
Agora multiplicamos
por
para obter
:
Agrupando as potências de
:
Esta é a forma em série de potências centrada em
. Aqui:
- o termo geral é
; - quando
varia de a obtemos todos os termos da expansão.
Passo 5
Para fixar a intuição, calculamos os primeiros termos da série explicitamente (fazendo
):
- Para
: - Para
: - Para
: - Para
:
Portanto, os primeiros termos são
o que bate com o termo geral já dado.
Passo 6
Comentário sobre convergência (útil para a prova): a série de
tem raio de convergência infinito (porque
é uma função inteira), e a substituição
não altera isso. Multiplicar por
(polinômio) também não altera o raio. Logo a série encontrada converge para todo
(raio de convergência
).