(3,0) Determine se as séries a seguir são convergentes ou divergentes; se for convergente; determine a soma:
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sqrt{n{4}+1}}{n{3}+n^{2}}
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sqrt{n{4}+1}}{n{3}+n^{2}}
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
- Série fornecida:
. - O que se pede: determinar se a série é convergente ou divergente; se for convergente, determinar a soma.
Informações úteis percebidas no enunciado (sem resolver ainda):
- O termo geral da série é
. - Para testar convergência de séries de termos positivos, costuma-se comparar com séries conhecidas (por exemplo a série harmônica
), ou usar o teste da comparação limite.
Passo 2
Escolhendo o método: como o termo geral parece comportar-se aproximadamente como
para
grande (porque
é da ordem de
e o denominador é da ordem de
), o caminho mais direto e rigoroso é usar o teste da comparação por limite (limit comparison test) com a série harmônica
.
Vou explicar o teste da comparação por limite de forma didática:
- Seja
e duas sequências com e para todo . - Se existe o limite finito
com , então as séries e são ambas convergentes ou ambas divergentes. - Intuição: se
é aproximadamente uma constante vezes quando é grande, elas têm o mesmo comportamento de soma.
Aqui escolhemos
, pois
é a série harmônica conhecida por divergir.
Passo 3
Aplicar o teste: calcular o limite
Agora vou simplificar essa expressão passo a passo, explicando cada manipulação (sem pular etapas).
Passo 4
Simplificação do limite:
Primeiro escrever
fatorando
dentro da raiz:
Também fatoramos
do denominador:
Substituindo essas expressões na fração do limite:
Agora simplificar
:
Passo 5
Calcular o limite quando
:
-
, porque o termo de maior grau no numerador e denominador é . -
.
Logo, pelo produto de limites,
Esse limite é finito e estritamente positivo (
), então pelo teste da comparação por limite a série
tem o mesmo comportamento de convergência que
.
Passo 6
Conclusão lógica final com interpretação didática:
- A série harmônica
diverge (resultado clássico). - Como o limite da razão
é , a série diverge também. - Intuição: para
grande, se comporta como , então os termos não são pequenos o suficiente para somar até um número finito; as somas parciais crescem sem limite (crescem aproximadamente como , embora não seja pedido calcular esse crescimento).
Resposta
A série diverge.