(3,0) Determine se as séries a seguir são convergentes ou divergentes; se for convergente; determine a soma:
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sqrt{n{4}+1}}{n{3}+n^{2}}

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • Série fornecida: \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sqrt{n^{4}+1}}{n^{3}+n^{2}}.
  • O que se pede: determinar se a série é convergente ou divergente; se for convergente, determinar a soma.
Informações úteis percebidas no enunciado (sem resolver ainda):
  • O termo geral da série é a_n=\dfrac{\sqrt{n^{4}+1}}{n^{3}+n^{2}}.
  • Para testar convergência de séries de termos positivos, costuma-se comparar com séries conhecidas (por exemplo a série harmônica \sum 1/n), ou usar o teste da comparação limite.

Passo 2

Escolhendo o método: como o termo geral parece comportar-se aproximadamente como 1/n para n grande (porque \sqrt{n^4+1} é da ordem de n^2 e o denominador é da ordem de n^3), o caminho mais direto e rigoroso é usar o teste da comparação por limite (limit comparison test) com a série harmônica \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}.
Vou explicar o teste da comparação por limite de forma didática:
  • Seja (a_n) e (b_n) duas sequências com a_n>0 e b_n>0 para todo n.
  • Se existe o limite finito \displaystyle \lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{b_n}=L com 0<L<\infty, então as séries \sum a_n e \sum b_n são ambas convergentes ou ambas divergentes.
  • Intuição: se a_n é aproximadamente uma constante vezes b_n quando n é grande, elas têm o mesmo comportamento de soma.
Aqui escolhemos b_n=\dfrac{1}{n}, pois \sum b_n é a série harmônica conhecida por divergir.

Passo 3

Aplicar o teste: calcular o limite
\lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{b_n} =\lim_{n\to\infty}\frac{\dfrac{\sqrt{n^{4}+1}}{n^{3}+n^{2}}}{\dfrac{1}{n}} =\lim_{n\to\infty} n\cdot\frac{\sqrt{n^{4}+1}}{n^{3}+n^{2}}.
Agora vou simplificar essa expressão passo a passo, explicando cada manipulação (sem pular etapas).

Passo 4

Simplificação do limite:
Primeiro escrever \sqrt{n^{4}+1} fatorando n^{4} dentro da raiz:
\sqrt{n^{4}+1}=n^{2}\sqrt{1+\dfrac{1}{n^{4}}}.
Também fatoramos n^{2} do denominador:
n^{3}+n^{2}=n^{2}(n+1).
Substituindo essas expressões na fração do limite:
n\cdot\frac{\sqrt{n^{4}+1}}{n^{3}+n^{2}} = n\cdot\frac{n^{2}\sqrt{1+\dfrac{1}{n^{4}}}}{n^{2}(n+1)} = n\cdot\frac{\sqrt{1+\dfrac{1}{n^{4}}}}{n+1}.
Agora simplificar n/(n+1):
n\cdot\frac{\sqrt{1+\dfrac{1}{n^{4}}}}{n+1} =\frac{n}{n+1}\cdot\sqrt{1+\dfrac{1}{n^{4}}}.

Passo 5

Calcular o limite quando n\to\infty:
  • \displaystyle \lim_{n\to\infty}\frac{n}{n+1}=1, porque o termo de maior grau no numerador e denominador é n.
  • \displaystyle \lim_{n\to\infty}\sqrt{1+\dfrac{1}{n^{4}}}= \sqrt{1+0}=1.
Logo, pelo produto de limites,
\lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{b_n} =1\cdot 1=1.
Esse limite é finito e estritamente positivo ( L=1), então pelo teste da comparação por limite a série \sum a_n tem o mesmo comportamento de convergência que \sum b_n=\sum \dfrac{1}{n}.

Passo 6

Conclusão lógica final com interpretação didática:
  • A série harmônica \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{1}{n} diverge (resultado clássico).
  • Como o limite da razão \dfrac{a_n}{1/n} é 1\neq 0, a série \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{\sqrt{n^{4}+1}}{n^{3}+n^{2}} diverge também.
  • Intuição: para n grande, a_n se comporta como \dfrac{1}{n}, então os termos não são pequenos o suficiente para somar até um número finito; as somas parciais crescem sem limite (crescem aproximadamente como \ln n, embora não seja pedido calcular esse crescimento).

Resposta

A série diverge.

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