(3,0) Determine se as séries a seguir são convergentes ou divergentes; se for convergente; determine a soma:
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1} \cdot n{2}}{n{3}+4}
ser classificada como convergente ou divergente; se for convergente, determinar a soma. Informações relevantes dadas pelo enunciado:
O termo geral é a_n = (-1)^{n+1}\dfrac{n^{2}}{n^{3}+4}.
É uma série alternada (os sinais alternam por causa de (-1)^{n+1}).
As perguntas a responder:
A série converge absolutamente, condicionalmente, ou diverge?
Se converge, qual é o valor da soma?
Passo 2
Teste de convergência absoluta (mostrando que não é absolutamente convergente).
Vou analisar a série dos módulos \sum_{n=1}^\infty |a_n|=\sum_{n=1}^\infty \dfrac{n^{2}}{n^{3}+4}.
Técnica: comparação assintótica (teste da razão limite) com a série harmônica \sum 1/n. Calculo o limite
ou seja, a série dada NÃO é absolutamente convergente.
Passo 3
Teste de Leibniz (convergência condicional).
Para aplicar o teste de séries alternadas (Leibniz) considero a sequência positiva
b_n=\frac{n^{2}}{n^{3}+4}.
As condições do teste de Leibniz são:
(i) b_n\ge 0 para todo n (é verdade); (ii) b_n é monótona decrescente (a partir de algum N); (iii) \lim_{n\to\infty} b_n = 0.
Para x\ge 2 temos x^{3}\ge 8, então -x^{3}+8\le 0 e portanto f'(x)\le 0 para todo x\ge 2. Isso mostra que f é decrescente em [2,\infty), logo a sequência b_n=f(n) é decrescente para n\ge 2. Como as condições do teste de Leibniz estão satisfeitas, a série alternada converge.
Conclusão deste passo: a série converge, mas não absolutamente — portanto converge condicionalmente.
Passo 4
Expressão útil para calcular a soma.
Vou ligar a soma procurada à soma conhecida da série alternada harmônica. Defina
para n\ge 1, e \sum 1/n^{4} é convergente. Logo é legítimo reescrever S dessa forma e calcular C numericamente com boa convergência.
Passo 5
Cálculo numérico de C por soma parcial (alternância rápida).
Como C é uma série alternada com termos de ordem 1/n^{4}, converge rápido; posso somar os primeiros termos e usar o estimador de resto para série alternada (o erro é menor que o primeiro termo omitido).
Calculo os primeiros termos c_n=\dfrac{(-1)^{n+1}}{n(n^{3}+4)} e a soma parcial C_N=\sum_{n=1}^{N} c_n.
Vou listar aproximações decimais (usando vírgula como separador decimal):
…
Somando até N=20 obtém-se (computação direta das parcelas conforme acima)
C_{20}\approx 0,1664603.
O próximo termo em magnitude (o termo c_{21}) tem ordem menor que 6\times10^{-6}, portanto o resto R_{20}=C-C_{20} tem magnitude menor que esse valor. Assim podemos tomar
C\approx 0,1664603\quad\text{com erro menor que }6\times10^{-6}.
Passo 6
Cálculo final da soma S.
Usando S=\ln 2 - 4C e \ln 2\approx 0,6931471806, obtemos
Com o controle de erro do passo anterior, o erro na aproximação de S é menor que 4\cdot 6\times10^{-6}=2,4\times10^{-5}. Arredondando com segurança, posso dar a soma com 6 casas decimais: