(3,0) Determine se as séries a seguir são convergentes ou divergentes; se for convergente; determine a soma:
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1} \cdot n{2}}{n{3}+4}

Passo 1

O enunciado pede para a série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1}\,n^{2}}{n^{3}+4}
ser classificada como convergente ou divergente; se for convergente, determinar a soma. Informações relevantes dadas pelo enunciado:
  • O termo geral é a_n = (-1)^{n+1}\dfrac{n^{2}}{n^{3}+4}.
  • É uma série alternada (os sinais alternam por causa de (-1)^{n+1}).
    As perguntas a responder:
  1. A série converge absolutamente, condicionalmente, ou diverge?
  2. Se converge, qual é o valor da soma?

Passo 2

Teste de convergência absoluta (mostrando que não é absolutamente convergente).
Vou analisar a série dos módulos \sum_{n=1}^\infty |a_n|=\sum_{n=1}^\infty \dfrac{n^{2}}{n^{3}+4}.
Técnica: comparação assintótica (teste da razão limite) com a série harmônica \sum 1/n. Calculo o limite
\lim_{n\to\infty}\frac{\dfrac{n^{2}}{n^{3}+4}}{\dfrac{1}{n}} = \lim_{n\to\infty}\frac{n^{3}}{n^{3}+4}=1.
Como o limite é finito e não nulo, pela comparação limite a série \sum n^{2}/(n^{3}+4) tem o mesmo comportamento da série \sum 1/n, que diverge. Logo
\sum_{n=1}^\infty \left|a_n\right|=\sum_{n=1}^\infty \frac{n^{2}}{n^{3}+4}\quad\text{diverge},
ou seja, a série dada NÃO é absolutamente convergente.

Passo 3

Teste de Leibniz (convergência condicional).
Para aplicar o teste de séries alternadas (Leibniz) considero a sequência positiva
b_n=\frac{n^{2}}{n^{3}+4}.
As condições do teste de Leibniz são:
(i) b_n\ge 0 para todo n (é verdade); (ii) b_n é monótona decrescente (a partir de algum N); (iii) \lim_{n\to\infty} b_n = 0.
Verifico (iii) primeiro:
\lim_{n\to\infty} b_n = \lim_{n\to\infty}\frac{n^{2}}{n^{3}+4}=\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n+\tfrac{4}{n^{2}}}=0.
Para (ii) mostro que b_n é decrescente a partir de n\ge 2. Considere a função contínua
f(x)=\frac{x^{2}}{x^{3}+4},\qquad x>0.
Derivando,
f'(x)=\frac{2x(x^{3}+4)-x^{2}(3x^{2})}{(x^{3}+4)^{2}} =\frac{-x^{4}+8x}{(x^{3}+4)^{2}} =\frac{x(-x^{3}+8)}{(x^{3}+4)^{2}}.
Para x\ge 2 temos x^{3}\ge 8, então -x^{3}+8\le 0 e portanto f'(x)\le 0 para todo x\ge 2. Isso mostra que f é decrescente em [2,\infty), logo a sequência b_n=f(n) é decrescente para n\ge 2. Como as condições do teste de Leibniz estão satisfeitas, a série alternada converge.
Conclusão deste passo: a série converge, mas não absolutamente — portanto converge condicionalmente.

Passo 4

Expressão útil para calcular a soma.
Vou ligar a soma procurada à soma conhecida da série alternada harmônica. Defina
S=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1}n^{2}}{n^{3}+4}.
Considere também a série alternada harmônica
H=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n+1}}{n}=\ln 2.
Faço a diferença termo a termo:
\frac{1}{n}-\frac{n^{2}}{n^{3}+4} =\frac{n^{3}+4-n^{3}}{n(n^{3}+4)} =\frac{4}{n(n^{3}+4)}.
Multiplicando por (-1)^{n+1} e somando sobre n,
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n+1}}{n} -\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n+1}n^{2}}{n^{3}+4} =4\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n+1}}{n(n^{3}+4)}.
Portanto
S = H - 4\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n+1}}{n(n^{3}+4)}.
Denotando
C=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n+1}}{n(n^{3}+4)},
obtemos a fórmula exata
S=\ln 2 - 4C.
Observação: a série C converge absolutamente, pois
\left|\frac{1}{n(n^{3}+4)}\right|\le \frac{1}{n^{4}}
para n\ge 1, e \sum 1/n^{4} é convergente. Logo é legítimo reescrever S dessa forma e calcular C numericamente com boa convergência.

Passo 5

Cálculo numérico de C por soma parcial (alternância rápida).
Como C é uma série alternada com termos de ordem 1/n^{4}, converge rápido; posso somar os primeiros termos e usar o estimador de resto para série alternada (o erro é menor que o primeiro termo omitido).
Calculo os primeiros termos c_n=\dfrac{(-1)^{n+1}}{n(n^{3}+4)} e a soma parcial C_N=\sum_{n=1}^{N} c_n.
Vou listar aproximações decimais (usando vírgula como separador decimal):
  • c_1=+\dfrac{1}{1\cdot(1+4)}=+\dfrac{1}{5}=0,2000000. Soma parcial C_1=0,2000000.
  • c_2=-\dfrac{1}{2\cdot(8+4)}=-\dfrac{1}{24}\approx-0,0416667. C_2\approx0,1583333.
  • c_3=+\dfrac{1}{3\cdot(27+4)}=\dfrac{1}{93}\approx0,0107527. C_3\approx0,1690860.
  • c_4=-\dfrac{1}{4\cdot(64+4)}=-\dfrac{1}{272}\approx-0,0036765. C_4\approx0,1654095.
  • c_5\approx+0,0015504. C_5\approx0,1669599.
  • c_6\approx-0,0007576. C_6\approx0,1662023.

  • Somando até N=20 obtém-se (computação direta das parcelas conforme acima)
C_{20}\approx 0,1664603.
O próximo termo em magnitude (o termo c_{21}) tem ordem menor que 6\times10^{-6}, portanto o resto R_{20}=C-C_{20} tem magnitude menor que esse valor. Assim podemos tomar
C\approx 0,1664603\quad\text{com erro menor que }6\times10^{-6}.

Passo 6

Cálculo final da soma S.
Usando S=\ln 2 - 4C e \ln 2\approx 0,6931471806, obtemos
S\approx 0,6931471806 - 4\cdot 0,1664603 =0,6931471806 - 0,6658412 \approx 0,02730598.
Com o controle de erro do passo anterior, o erro na aproximação de S é menor que 4\cdot 6\times10^{-6}=2,4\times10^{-5}. Arredondando com segurança, posso dar a soma com 6 casas decimais:
S\approx 0,027306.

Resposta

Converge condicionalmente.
Soma =\;0,027306

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