(3,0) Determine se as séries a seguir são convergentes ou divergentes; se for convergente; determine a soma:
\sum_{n=2}^{\infty} \frac{2}{n^{2}-1}
\sum_{n=2}^{\infty} \frac{2}{n^{2}-1}
Passo 1
O que o enunciado pede e o que ele dá:
- Pede: determinar se a série
é convergente ou divergente; e, se for convergente, determinar a sua soma.
- Informação dada: o termo geral da série é
, com a soma começando em e indo até o infinito.
Passo 2
Escolha do método e ideia principal (explicada passo a passo):
- Quando temos uma fração racional em
como e o denominador fatora em fatores lineares em , uma técnica clássica é decompor em frações parciais. Isso transforma cada termo em uma soma/diferença de frações simples que, muitas vezes, produzem cancelamentos quando somados — é o caso de séries telescópicas. - Vou decompor
. Note que
Procuramos constantes
e
tais que, para todo
,
Aqui
e
são números (constantes independentes de
) que vamos determinar.
Passo 3
Determinar
e
(resolvendo as frações parciais):
Multiplicando a igualdade anterior por
obtemos
Isto é uma identidade em
. Podemos encontrar
e
escolhendo valores convenientes de
ou igualando coeficientes. Usando valores convenientes:
- Se
então , logo . - Se
então , logo .
Portanto a decomposição é
Passo 4
Escrever os primeiros termos e ver o telescopamento:
O termo geral agora é
. Vamos escrever os primeiros termos da série para ver o padrão de cancelamento:
- Para
: . - Para
: . - Para
: . - Para
: . -
- Para
: .
Agora somamos de
até
para obter a soma parcial
:
Ao somar os termos escritos acima, muitos termos cancelam: por exemplo
(do
) cancela com
(do
),
(do
) cancela com
(do
), e assim por diante.
Passo 5
Calcular explicitamente
após o cancelamento:
Ao realizar todos os cancelamentos resta apenas:
Isto é,
Passo 6
Passar ao limite
para decidir convergência e obter a soma:
- Para decidir se a série converge, vemos o comportamento de
quando . - Como
segue que
Portanto a sequência de somas parciais converge para
. Logo a série é convergente e sua soma é
.
Passo 7
Breve reforço pedagógico (exemplo parecido):
- Um exemplo análogo e mais simples é a série
que também se decompõe em frações parciais
e telescopa, com soma igual a
. A ideia é a mesma: decompor e observar cancelamentos nas somas parciais.
Resposta
Convergente; soma