(3,0) Determine se as séries a seguir são convergentes ou divergentes; se for convergente; determine a soma:
\sum_{n=2}^{\infty} \frac{2}{n^{2}-1}

Passo 1

O que o enunciado pede e o que ele dá:
  • Pede: determinar se a série
\sum_{n=2}^{\infty} \frac{2}{n^{2}-1}
é convergente ou divergente; e, se for convergente, determinar a sua soma.
  • Informação dada: o termo geral da série é \dfrac{2}{n^{2}-1}, com a soma começando em n=2 e indo até o infinito.

Passo 2

Escolha do método e ideia principal (explicada passo a passo):
  • Quando temos uma fração racional em n como \dfrac{2}{n^{2}-1} e o denominador fatora em fatores lineares em n, uma técnica clássica é decompor em frações parciais. Isso transforma cada termo em uma soma/diferença de frações simples que, muitas vezes, produzem cancelamentos quando somados — é o caso de séries telescópicas.
  • Vou decompor \dfrac{2}{n^{2}-1}. Note que
n^{2}-1=(n-1)(n+1).
Procuramos constantes A e B tais que, para todo n,
\frac{2}{(n-1)(n+1)}=\frac{A}{n-1}+\frac{B}{n+1}.
Aqui A e B são números (constantes independentes de n) que vamos determinar.

Passo 3

Determinar A e B (resolvendo as frações parciais):
Multiplicando a igualdade anterior por (n-1)(n+1) obtemos
2 = A(n+1)+B(n-1).
Isto é uma identidade em n. Podemos encontrar A e B escolhendo valores convenientes de n ou igualando coeficientes. Usando valores convenientes:
  • Se n=1 então 2 = A(2) + B(0), logo A=1.
  • Se n=-1 então 2 = A(0) + B(-2), logo B=-1.
Portanto a decomposição é
\frac{2}{n^{2}-1}=\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n+1}.

Passo 4

Escrever os primeiros termos e ver o telescopamento:
O termo geral agora é \dfrac{1}{n-1} - \dfrac{1}{n+1}. Vamos escrever os primeiros termos da série para ver o padrão de cancelamento:
  • Para n=2: \dfrac{1}{1}-\dfrac{1}{3}.
  • Para n=3: \dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{4}.
  • Para n=4: \dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{5}.
  • Para n=5: \dfrac{1}{4}-\dfrac{1}{6}.
  • \vdots
  • Para n=N: \dfrac{1}{N-1}-\dfrac{1}{N+1}.
Agora somamos de n=2 até n=N para obter a soma parcial S_{N}:
S_{N}=\sum_{n=2}^{N}\left(\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n+1}\right).
Ao somar os termos escritos acima, muitos termos cancelam: por exemplo -\dfrac{1}{3} (do n=2) cancela com +\dfrac{1}{3} (do n=4), -\dfrac{1}{4} (do n=3) cancela com +\dfrac{1}{4} (do n=5), e assim por diante.

Passo 5

Calcular explicitamente S_{N} após o cancelamento:
Ao realizar todos os cancelamentos resta apenas:
S_{N} = \left(\frac{1}{1}+\frac{1}{2}\right) - \left(\frac{1}{N}+\frac{1}{N+1}\right).
Isto é,
S_{N} = 1+\frac{1}{2}-\frac{1}{N}-\frac{1}{N+1} = \frac{3}{2}-\left(\frac{1}{N}+\frac{1}{N+1}\right).

Passo 6

Passar ao limite N\to\infty para decidir convergência e obter a soma:
  • Para decidir se a série converge, vemos o comportamento de S_{N} quando N\to\infty.
  • Como
\lim_{N\to\infty}\frac{1}{N}=0 \qquad\text{e}\qquad \lim_{N\to\infty}\frac{1}{N+1}=0,
segue que
\lim_{N\to\infty} S_{N} = \frac{3}{2}-0=\frac{3}{2}.
Portanto a sequência de somas parciais converge para \dfrac{3}{2}. Logo a série é convergente e sua soma é \dfrac{3}{2}.

Passo 7

Breve reforço pedagógico (exemplo parecido):
  • Um exemplo análogo e mais simples é a série
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n(n+1)},
que também se decompõe em frações parciais \dfrac{1}{n}-\dfrac{1}{n+1} e telescopa, com soma igual a 1. A ideia é a mesma: decompor e observar cancelamentos nas somas parciais.

Resposta

Convergente; soma =\dfrac{3}{2}

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