(1,0) Use a derivação para encontrar a série de potências para a função:
i) \quad f(x)=\frac{1}{(1+x)^{2}};
ii) Use o item i para determinar a série de potências para f(x)=\frac{x^{2}}{(1+x)^{2}}

Passo 1

Vou deixar claro o que o enunciado pede e quais são os dados:
  • Pedido i): encontrar a série de potências centrada em 0 para \displaystyle f(x)=\frac{1}{(1+x)^{2}}.
  • Pedido ii): usar o item i) para determinar a série de potências centrada em 0 para \displaystyle f(x)=\frac{x^{2}}{(1+x)^{2}}.
  • Informação implícita: as séries pedidas são desenvolvimentos em potências de x (ou seja, soma de termos da forma a_n x^n), e o centro é 0. Procuraremos também a região de validade (raio de convergência).

Passo 2

Recordando a série geométrica básica (fórmula que vamos usar): para |x|<1 vale
\frac{1}{1-(-x)}=\sum_{n=0}^{\infty}(-x)^{n}=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}x^{n}.
Isto mostra que, para |x|<1,
\frac{1}{1+x}=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}x^{n}.
Explicação rápida: a soma finita da geométrica 1+(-x)+(-x)^2+\dots+(-x)^N=\dfrac{1-(-x)^{N+1}}{1+ x}; ao deixar N\to\infty e usar |x|<1 o termo (-x)^{N+1}\to0, obtém-se a série infinita acima.

Passo 3

Agora diferenciamos a identidade \dfrac{1}{1+x}=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}x^{n} termo a termo. Justificativa da diferenciação termo a termo: dentro do raio de convergência ( |x|<1) a série de potências é diferenciável e pode ser diferenciada termo a termo, produzindo uma série que converge na mesma região (ou numa região aberta possivelmente igual).
Derivando ambos os lados em relação a x:
  • Derivada do lado esquerdo:
\frac{d}{dx}\!\left(\frac{1}{1+x}\right)=-\frac{1}{(1+x)^{2}}.
  • Derivada do lado direito (cada termo (-1)^{n}x^{n} tem derivada (-1)^{n}n x^{n-1}):
\frac{d}{dx}\!\left(\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}x^{n}\right)=\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n}n x^{n-1}.
Observação: o termo n=0 some porque sua derivada é zero.
Portanto,
-\frac{1}{(1+x)^{2}}=\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n}n x^{n-1}.

Passo 4

Multiplicando por -1 para isolar \dfrac{1}{(1+x)^{2}}:
\frac{1}{(1+x)^{2}}=\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}n x^{n-1}.
Agora fazemos uma mudança de índice para escrever a soma começando em 0. Ponha k=n-1. Então n=k+1 e quando n=1 temos k=0. Substituindo:
\frac{1}{(1+x)^{2}}=\sum_{k=0}^{\infty}(-1)^{k}(k+1)x^{k}.
Conclusão (forma mais usual): para |x|<1,
\boxed{\displaystyle \frac{1}{(1+x)^{2}}=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}(n+1)x^{n}.}
Para ajudar a ver os primeiros termos, expandindo os primeiros n:
\frac{1}{(1+x)^{2}}=1-2x+3x^{2}-4x^{3}+5x^{4}-\cdots\quad(|x|<1).

Passo 5

Agora o item ii). Sabendo a série para \dfrac{1}{(1+x)^{2}}, obtemos a série para \dfrac{x^{2}}{(1+x)^{2}} multiplicando termo a termo por x^{2} (multiplicação termo a termo preserva a região de convergência interior):
\frac{x^{2}}{(1+x)^{2}}=x^{2}\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}(n+1)x^{n}=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}(n+1)x^{n+2}.
Podemos reindexar para escrever como soma em potências x^{m} com m sendo o expoente. Coloque m=n+2, então n=m-2 e a soma começa em m=2:
\frac{x^{2}}{(1+x)^{2}}=\sum_{m=2}^{\infty}(-1)^{m}(m-1)x^{m}.
Nota: (-1)^{n}=(-1)^{m-2}=(-1)^{m} porque m-2 e m têm o mesmo paridade.
Mostrando os primeiros termos:
\frac{x^{2}}{(1+x)^{2}}=x^{2}-2x^{3}+3x^{4}-4x^{5}+\cdots\quad(|x|<1).

Passo 6

Comentário adicional curto (útil na prova): outra maneira direta é usar o binômio generalizado (1+x)^{-2}=\sum_{n=0}^{\infty}\binom{-2}{n}x^{n} e a identidade
\binom{-2}{n}=(-1)^{n}(n+1),
o que leva à mesma série do Passo 4. Esta fórmula para \binom{-2}{n} pode ser verificada escrevendo o coeficiente binomial generalizado em termos do produto (-2)(-3)\dots(-n-1)/n!.

Resposta

\displaystyle \frac{1}{(1+x)^{2}}=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}(n+1)x^{n}\quad(|x|<1)
\displaystyle \frac{x^{2}}{(1+x)^{2}}=\sum_{n=2}^{\infty}(-1)^{n}(n-1)x^{n}\quad(|x|<1)

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