Use a derivação para encontrar a série de potências para a função:
i)
;
ii) Use o item i para determinar a série de potências para
i)
ii) Use o item i para determinar a série de potências para
Passo 1
Vou deixar claro o que o enunciado pede e quais são os dados:
- Pedido i): encontrar a série de potências centrada em
para . - Pedido ii): usar o item i) para determinar a série de potências centrada em
para . - Informação implícita: as séries pedidas são desenvolvimentos em potências de
(ou seja, soma de termos da forma ), e o centro é . Procuraremos também a região de validade (raio de convergência).
Passo 2
Recordando a série geométrica básica (fórmula que vamos usar): para
vale
Isto mostra que, para
,
Explicação rápida: a soma finita da geométrica
; ao deixar
e usar
o termo
, obtém-se a série infinita acima.
Passo 3
Agora diferenciamos a identidade
termo a termo. Justificativa da diferenciação termo a termo: dentro do raio de convergência (
) a série de potências é diferenciável e pode ser diferenciada termo a termo, produzindo uma série que converge na mesma região (ou numa região aberta possivelmente igual).
Derivando ambos os lados em relação a
:
- Derivada do lado esquerdo:
- Derivada do lado direito (cada termo
tem derivada ):
Observação: o termo
some porque sua derivada é zero.
Portanto,
Passo 4
Multiplicando por
para isolar
:
Agora fazemos uma mudança de índice para escrever a soma começando em
. Ponha
. Então
e quando
temos
. Substituindo:
Conclusão (forma mais usual): para
,
Para ajudar a ver os primeiros termos, expandindo os primeiros
:
Passo 5
Agora o item ii). Sabendo a série para
, obtemos a série para
multiplicando termo a termo por
(multiplicação termo a termo preserva a região de convergência interior):
Podemos reindexar para escrever como soma em potências
com
sendo o expoente. Coloque
, então
e a soma começa em
:
Nota:
porque
e
têm o mesmo paridade.
Mostrando os primeiros termos:
Passo 6
Comentário adicional curto (útil na prova): outra maneira direta é usar o binômio generalizado
e a identidade
o que leva à mesma série do Passo 4. Esta fórmula para
pode ser verificada escrevendo o coeficiente binomial generalizado em termos do produto
.