Determine se as séries a seguir são convergentes ou divergentes. Se forem convergentes, obtenha as suas somas.
\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{4 n^{2}}{n^{2}+2}

Passo 1

O enunciado pede para determinar se a série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{4n^{2}}{n^{2}+2}
é convergente ou divergente. O conteúdo aqui é o teste do termo geral: para que uma série \sum a_{n} possa convergir, é necessário que \lim_{n\to\infty}a_{n}=0.

Passo 2

Calculamos o limite do termo geral:
\lim_{n\to\infty} \frac{4n^{2}}{n^{2}+2} =\lim_{n\to\infty} \frac{4}{1+\tfrac{2}{n^{2}}} =4\neq0.
Como o termo geral não tende a zero, a série diverge pelo teste do termo geral.

Resposta

A série diverge.

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