Determine se as séries a seguir são convergentes ou divergentes. Se forem convergentes, obtenha as suas somas.
\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{2 n+1}{3 n^{2}+5}

Passo 1

O enunciado pede para estudar a convergência da série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{2n+1}{3n^{2}+5}
Estamos em matéria de séries numéricas; vamos usar o teste do termo geral e o teste de comparação assintótica.

Passo 2

Analisamos o termo geral para n grande. Note que
\frac{2n+1}{3n^{2}+5} = \frac{2n}{3n^{2}} + \frac{1}{3n^{2}} + \text{termos de ordem menor} = \frac{2}{3n} + O\bigl(n^{-2}\bigr).
Logo, para n\to\infty,
a_{n}=\frac{2n+1}{3n^{2}+5}\sim \frac{2}{3n}.

Passo 3

Como \sum \frac{1}{n} diverge (série harmônica) e a_{n} é equivalente a \tfrac{2}{3n}, pelo critério de comparação limite temos
\lim_{n\to\infty}\frac{a_{n}}{\frac{1}{n}} =\lim_{n\to\infty}\frac{\frac{2n+1}{3n^{2}+5}}{\frac{1}{n}} =\lim_{n\to\infty}\frac{n(2n+1)}{3n^{2}+5} =\frac{2}{3}\neq 0,\infty.
Então \sum a_{n} diverge se e somente se \sum \tfrac{1}{n} diverge. Logo a nossa série diverge.

Resposta

A série diverge.

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