Determine se as séries a seguir são convergentes ou divergentes. Se forem convergentes, obtenha as suas somas.
\sum_{n=2}^{+\infty}\left(\frac{5}{4^{n}}+\frac{4}{5^{n}}\right)

Passo 1

O enunciado pede para determinar se
\sum_{n=2}^{+\infty}\Bigl(\frac{5}{4^{n}}+\frac{4}{5^{n}}\Bigr)
converge e, em caso afirmativo, calcular sua soma. Trata-se de uma soma de termos que são produtos de constantes por potências, ou seja, de duas séries geométricas deslocadas.

Passo 2

Podemos separar a série em duas:
\sum_{n=2}^{\infty}\frac{5}{4^n} \quad\text{e}\quad \sum_{n=2}^{\infty}\frac{4}{5^n}.

Passo 3

Lembrando que uma série geométrica
\sum_{n=N}^{\infty}r^n
converge se \lvert r\rvert<1 e sua soma é
\sum_{n=N}^{\infty}r^n = \frac{r^N}{1-r},
verificamos que em ambas as partes os rs são menores que 1 em módulo.

Passo 4

Para a primeira série temos r_1=\tfrac14 e coeficiente 5, então
\sum_{n=2}^{\infty}5\Bigl(\tfrac14\Bigr)^n =5\;\frac{(1/4)^2}{1-1/4} =5\;\frac{1/16}{3/4} =5\;\frac{1}{12} =\frac{5}{12}.

Passo 5

Para a segunda série temos r_2=\tfrac15 e coeficiente 4, então
\sum_{n=2}^{\infty}4\Bigl(\tfrac15\Bigr)^n =4\;\frac{(1/5)^2}{1-1/5} =4\;\frac{1/25}{4/5} =4\;\frac{1}{20} =\frac{1}{5}.

Passo 6

Somando as duas parcelas obtidas:
\frac{5}{12}+\frac{1}{5} =\frac{25}{60}+\frac{12}{60} =\frac{37}{60}.
Logo, a série original converge.

Resposta

A série converge e
\sum_{n=2}^{+\infty}\Bigl(\tfrac{5}{4^{n}}+\tfrac{4}{5^{n}}\Bigr) = \frac{37}{60}.

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