Determine se as séries a seguir são convergentes ou divergentes e indique qual o critério de convergência utilizado.
\sum_{k=1}^{\infty} \frac{k^{2}}{2^{k}}
Passo 1
O enunciado pede para decidir se a série
\sum_{k=1}^{\infty} \frac{k^{2}}{2^{k}}
converge ou diverge. Esse é um problema de séries numéricas, e como o termo geral combina um polinômio em k com uma exponencial em 2^{k}, o teste da razão de d’Alembert é a escolha mais direta.
Passo 2
O teste da razão de d’Alembert afirma que, para uma série de termo geral a_{k}, definimos
L = \lim_{k\to\infty} \left|\frac{a_{k+1}}{a_{k}}\right|.
Então vale que
Para L<1 a série converge absolutamente.
Para L>1 a série diverge.
Para L=1 o teste é inconclusivo.