Determine se as séries a seguir são convergentes ou divergentes e indique qual o critério de convergência utilizado.
\sum_{k=1}^{\infty} \frac{k^{2}}{2^{k}}

Passo 1

O enunciado pede para decidir se a série
\sum_{k=1}^{\infty} \frac{k^{2}}{2^{k}}
converge ou diverge. Esse é um problema de séries numéricas, e como o termo geral combina um polinômio em k com uma exponencial em 2^{k}, o teste da razão de d’Alembert é a escolha mais direta.

Passo 2

O teste da razão de d’Alembert afirma que, para uma série de termo geral a_{k}, definimos
L = \lim_{k\to\infty} \left|\frac{a_{k+1}}{a_{k}}\right|.
Então vale que
Para L<1 a série converge absolutamente.
Para L>1 a série diverge.
Para L=1 o teste é inconclusivo.

Passo 3

No nosso caso,
a_{k} = \frac{k^{2}}{2^{k}}.
Calculamos
\frac{a_{k+1}}{a_{k}} = \frac{\frac{(k+1)^{2}}{2^{\,k+1}}}{\frac{k^{2}}{2^{\,k}}} = \frac{(k+1)^{2}}{k^{2}}\;\frac{1}{2}.
Fazendo o limite quando k\to\infty:
L = \lim_{k\to\infty} \frac{(k+1)^{2}}{k^{2}}\;\frac{1}{2} = \frac{1}{2}.

Passo 4

Como L = \tfrac{1}{2} < 1, a série converge absolutamente e, portanto, converge.

Resposta

A série \displaystyle\sum_{k=1}^{\infty}\frac{k^{2}}{2^{k}} converge pelo teste da razão de d’Alembert (limite L = 1/2 < 1).

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