Em cada item, verifique se o campo vetorial é conservativo e, caso seja, encontre um potencial escalar.
vec{F}(x, y)=\left(e^{x} \cos (y), e^{x} \operatorname{sen}(y)\right)

Passo 1

O enunciado pede para verificar se o campo vetorial \vec{F}(x,y) = \bigl(e^x\cos(y),\,e^x\operatorname{sen}(y)\bigr)
é conservativo e, em caso afirmativo, encontrar um potencial escalar.
Para isto precisamos usar a condição de integrabilidade em \mathbb{R}^2 (domínio aberto e simplesmente conexo):
\frac{\partial P}{\partial y} \stackrel{?}{=} \frac{\partial Q}{\partial x},
onde P(x,y)=e^x\cos(y) e Q(x,y)=e^x\operatorname{sen}(y).

Passo 2

Calculamos as derivadas parciais necessárias:
\frac{\partial P}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y}\bigl(e^x\cos(y)\bigr) = e^x\bigl(-\operatorname{sen}(y)\bigr) = -\,e^x\operatorname{sen}(y),
\frac{\partial Q}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x}\bigl(e^x\operatorname{sen}(y)\bigr) = e^x\operatorname{sen}(y).

Passo 3

Comparando as duas derivadas:
\frac{\partial P}{\partial y} = -\,e^x\operatorname{sen}(y), \qquad \frac{\partial Q}{\partial x} = +\,e^x\operatorname{sen}(y).
Como \frac{\partial P}{\partial y}\neq\frac{\partial Q}{\partial x} em geral, o campo não satisfaz a condição de integrabilidade e, portanto, não é conservativo.

Resposta

O campo não é conservativo, logo não existe potencial escalar.

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