Em cada item, verifique se o campo vetorial é conservativo e, caso seja, encontre um potencial escalar.
vec{F}(x, y)=(x, x y)

Passo 1

O enunciado pede para verificar se o campo vetorial
\vec F(x,y) = (P(x,y),\,Q(x,y)) = (x,\;x\,y)
é conservativo em seu domínio (que é todo \mathbb R^2, um conjunto simplesmente conexo) e, caso positivo, encontrar um potencial escalar. Em domínios simplesmente conexos, basta checar se
\frac{\partial P}{\partial y} \;=\;\frac{\partial Q}{\partial x}.

Passo 2

Calculemos as derivadas parciais:
\frac{\partial P}{\partial y} =\frac{\partial}{\partial y}(x)=0, \qquad \frac{\partial Q}{\partial x} =\frac{\partial}{\partial x}(x\,y)=y.
Como 0\neq y em geral, as duas derivadas não coincidem.

Passo 3

A igualdade \partial P/\partial y = \partial Q/\partial x falha, logo \vec F não é conservativo em \mathbb R^2. Consequentemente, não existe função potencial escalar \varphi(x,y) tal que \nabla\varphi=\vec F.

Resposta

O campo vetorial não é conservativo.

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